Bestimmen Sie mit Begründung ein p, so dass der Limes existiert und echt positiv ist.

Question

ich soll für den folgenden Limes ein p \in \mathbb{R} , so dass dieser existiert und echt positiv ist.

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{4^n} \begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix} n^p$$

Für $$\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}$$ gilt $$\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix} = (-1)^n 4^n \begin{pmatrix} -1/2\\n \end{pmatrix} => \lim\limits_{n\to\infty} (-1)^n \begin{pmatrix} -1/2\\n \end{pmatrix} n^p$$ Mein Problem liegt nun daran wie ich weiter machen soll..

Der Binomialkoeffizient geht gegen Null..

Comments

Der Koeffizient gegen nicht gegen Null, sondern gegen unendlich, wächst aber langsamer als 4ⁿ.

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Ich sprach dabei von -1/2 über n, von dem ist der Limes 0..

Aber wenn man von der ursprünglichen Formel ausgeht:

1/4ⁿ -> 0, 2n über n -> unendlich und n^p ist von p abhängig, verstehe also nicht wirklich wie ich da das richtige P bestimmen soll

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p = 1/2 könnte passen.

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Kannst du mir begründen/erklären warum? Verstehe den Gedankengang nicht..

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Was verstehst du denn in der Antwort von jc2144 nicht? Bitte kommentiere dort.

Answer 1

siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Mittlerer_Binomialkoeffizient

Comments

Okay danke, hilft mir schon mal ein wenig weiter.

Tatsächlich wie oben gesagt passt p = 1/2.

Hab’s jetzt in Wolframalpha eingegeben, aber verstehe nicht wie man mit limes des Bruches auf 1/Wurzel pi kommt.

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Was man erhält wäre ja $$\frac{(2n)!*n^p}{(n!)^2*4^n}$$

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Der exakte Wert des Grenzwertes ist nicht gefragt, es reicht also zu zeigen

(2n über n) wächst in der Ordnung von 4ⁿ/sqrt(n).

Das ganze kann man mit der Stirlingformel herleiten, das müsstest du aufschreiben oder eben anders begründen.  Z.B

http://www.moderndescartes.com/essays/2n_choose_n/

erklärt das asymptotische Verhalten sehr gut.

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Ich danke dir, habs damit dann verstanden! :)