Bestimmen Sie die Größe der Einheitengruppe

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den Ring \( \left(\mathbb{Z}_{30}, \oplus_{30}, \odot_{30}\right) \).
Bestimmen Sie \( \left|\mathbb{Z}_{30}^{*}\right| \), die Größe der Einheitengruppe von \( \mathbb{Z}_{30} \), ohne die Einheiten in \( \mathbb{Z}_{30} \) explizit anzugeben.

Comments

(ℤ/30ℤ)* ist isomorph zu (ℤ/5ℤ)* × (ℤ/3ℤ)* × (ℤ/2ℤ)*

Für die einzelnen gilt, dass die Einheiten teilerfremd zu 5 bzw. 3 bzw. 2 sind damit weißt du dann auch wie viele Einheiten es gibt

Answer 1

Zähle Die Elemente, die teilerfremd zu 30 sind. Beachte \(30=2\cdot3\cdot5\). Hier kann dann das Prinzip von Inklusion und Exklusion für Mengen helfen, bspw. sind \(\frac{30}{2}\) Elemente durch 2 teilbar usw.