Welche der folgenden Aussagen über Folgen ist wahr?

Question

Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie die wahren Aussagen, widerlegen Sie die falschen Aussagen jeweils durch ein Gegenbeispiel.

(a) Jede konvergente Folge ist monoton und beschränkt.
(b) Jede monotone Folge ist konvergent.
(c) Jede konvergente Folge ist monoton.

Meine Einschätzung wäre das a) stimmt weil  "Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist."

b) und c) sind falsch.

Ist das so richtig? Wisst ihr Gegenbeispiele für b) und c) ?

Answer 1

Aloha :)

Alle Aussagen sind falsch.

zu a) Die Folge \(\;a_n=\frac{(-1)^n}{n}\;\) ist konvergent, denn:$$\left|a_n\right|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac1n\to0$$aber sie ist nicht monoton, denn es gilt \(a_1=-1\;;\;a_2=\frac12\;;\;a_3=-\frac13\), sodass \(a_1<a_2\) aber \(a_2>a_3\) ist.

zu b) Die Folge \(\;a_n=n\;\) ist streng monoton wachsend, aber nicht konvergent.

zu c) Gleiches Beispiel wie in (a). Die Folge ist konvergent, aber nicht monoton.

Comments

Alles klar. Besten Dank für die schnelle Hilfe!

Answer 2

Die Folge \((-1)^n \cdot \frac{1}{n} \) konvergiert, ist aber nicht monoton.

Comments

Also liege ich mit meiner Vermutung richtig das a) wahr ist und b) und c) falsch? .

Weiß noch jemand ein Gegenbeispiel für b) ? =)

Besten Dank erstmal für deine Antwort abakus.