Unter welchem Winkel schneiden sich E und g2?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Ebene E: 2x + y + 2z = 6 und die Geradenschar g_a: Vektor x = (1/2/1) +r • (1/-1/a) 
a) Unter welchem Winkel schneiden sich E und g₂?
b) Wie muss a gewählt werden, damit E und ga sich unter einem Winkel von 45° schneiden?
c) Für welchen Wert von a sind E und g_aparallel bzw. orthogonal zueinander?

Problem/Ansatz:

Wie löse ich das

Answer 1

\( \vec{n} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} \) ist der Normalenvektor der Ebene.

\( \vec{r} \)=\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\a \end{pmatrix} \) ist der Richtungsvektor der Geradenschar. Ansatz:

\( \frac{\vec{n}·\vec{r}}{|\vec{n}|·|\vec{r}|} \)=cos(α).

Gesuchter Winkel β=90°- α.

Answer 2

Hallo,

Wie löse ich das?

mache Dir zunächst klar, was die Koordinatenform der Ebene bedeutet. Die Gleichung \(2x+y+2z=6\) kann man auch schreiben als$$E: \quad\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\vec{x} = 6\quad\quad \vec{x} = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$Der Vektor \(\vec{n}\) vor dem \(\vec{x}\) ist der Normalenvektor der Ebene \(E\). \(\vec{n}\) steht also senkrecht auf der Ebene - also im Winkel vom 90°. \(\vec{n}\) habe ich Dir unten rot eingezeichnet.

Der Richtungsvektor \(\vec{r}\) der Geraden \(g\) ist blau und lila gefärbt. Abhängig von den Werten für \(a\). Wenn man also den gelben Winkel \(\alpha\) zwischen \(\vec{n}\)  und \(\vec{r}\) kennt, so kann man den lila Winkel \(\beta\) aus $$\beta = 90° - \alpha$$berechnen. Und den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet man über das Skalarprodukt. Es gilt$$\vec{n} \cdot \vec{r} = |\vec{n}| \cdot |\vec{r}| \cdot \cos\left(\underbrace{\angle(\vec{n}, \vec{r})}_{=\alpha}\right) \\ \implies \alpha = \arccos\left(\frac{\vec{n} \cdot \vec{r}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{r}|}\right)$$Zur Kontrolle: Lösung zu (b) \(a=4\). Lösung zu (c) parallel bei \(a=-0,5\) und orthogonal nie.

Wenn Du oben auf das BIld klickst, so öffnet sich Geoknecht3D und Du kannst die Szene rotieren. So bekommst Du einen besseren räumlichen Eindruck. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank aber das verwirrt mich ich weiß nicht welches jetzt a,b,c ist

Und die rechenschritte

---

ich weiß nicht welches jetzt a,b,c ist

ich nehme an, Du meinst die Aufgabenteile a), b) und c). Nun bei a) heißt es:

a) Unter welchem Winkel schneiden sich E und g₂?  (g₂=g_a)

Oben habe ich versucht Dir zu erklären, wie man den Winkel berechnet. Du musst also nur die gegebenen Größen in die Formel für \(\beta\) (bw. dann \(\alpha\)) einsetzen und dann ausrechnen.

bei b)

b) Wie muss a gewählt werden, damit E und ga sich unter einem Winkel von 45° schneiden?

Hier nimmst Du Dein Ergebnis aus a) und setzt \(\alpha=45°\) ein und löst das ganze nach \(a\) auf.

bei c)

c) Für welchen Wert von a sind E und gaparallel bzw. orthogonal zueinander?

Wenn \(E\) und \(g_a\) parallel liegen sollen, muss \(\beta=0°\) oder \(180°\) und somit \(\alpha = 90°\) oder \(-90°\) sein. Setze also diese Werte wie schon bei b) für \(\alpha\) ein und löse nach \(a\) auf. Liegen sie orthogonal, muss \(\beta\) entweder \(90°\) oder \(-90°\) sein.

Weißt Du wie man das Skalarprodukt rechnet?$$\vec{n} \cdot \vec{r} =\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\a\end{pmatrix} = \space ?$$

---

Statt \(\cos\) kann man hier auch einfach \(\sin\) verwenden. Dann spart man sich die Umrechnung des Winkels.

Answer 3

a)

ARCSIN(ABS([1, -1, 2]·[2, 1, 2])/(ABS([1, -1, 2])·ABS([2, 1, 2])))

= ARCSIN(5/(√6·3)) = 42.88°

b)

ABS([1, -1, a]·[2, 1, 2])/(ABS([1, -1, a])·ABS([2, 1, 2])) = SIN(45°)

ABS(2·a + 1)/(√(a^2 + 2)·3) = √2/2

2·ABS(2·a + 1) = 3·√2·√(a^2 + 2)

(2·ABS(2·a + 1))^2 = (3·√2·√(a^2 + 2))^2

4·(2·a + 1)^2 = 18·(a^2 + 2)

16·a^2 + 16·a + 4 = 18·a^2 + 36

2·a^2 - 16·a + 32 = 0

a^2 - 8·a + 16 = 0 

a = 4

c)

[1, -1, a]·[2, 1, 2] = 0 --> a = -0.5

parallel (echt oder unecht) für a = -0.5

Senkrecht ist nicht möglich, weil die Vektoren [1, -1, a] und [2, 1, 2] immer linear unabhängig sind.