Berechne die erste und zweite Ableitung von ln (2x) \ (2+x)

Question

Aufgabe:

Berechne die erste und zweite Ableitung von ln (2x) \ (2+x)

Problem/Ansatz:

kann mir das jemand erklären und vorrechen? dankeschön

Comments

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

\( f(x)=\frac{ln(2x)}{2+x} \) 

Quotientenregel:

\( \frac{Z´ \cdot N-Z \cdot N´}{N^2} \)

\(Z=ln(2x)\)   →   \(Z´=\frac{1}{2x} \cdot 2=\frac{1}{x}\)

\(N=2+x\)  → \(N´=1\)

\( f´(x)=\frac{ln(2x)}{2+x} =\frac{\frac{1}{x} \cdot (2+x)-ln(2x) \cdot 1 }{(2+x)^2}=...\)

Answer 2

Zur Kontrolle:

f'(x)=1/(x*(x+2)) - ln(2x)/(x+2)^2

f''(x)=2ln(2x)/(x+2)^3 - 1/(x^2*(x+2)) - 2/(x*(x+2)^2)

Answer 3

\( f(x) = \frac{ln (2x)}{2+x} \)

Ableitung nach der Quotientenregel, die Formel dazu

\( f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} \)  ==> \( f ' (x) = \frac{n(x)z'(x)-n'(x)z(x)}{n^2(x)} \)

Bei dir ist ja z(x)=ln(2x) also \( z'(x) = \frac{1}{2x} \cdot 2\) (Kettenregel!) \(= \frac{1}{x} \)

und n(x)=2+x  also n ' (x) = 1

In die Formel einsetzen gibt

\( f ' (x) = \frac{(2+x) \frac{1}{x} -1\cdot ln(2x)}{(2+x)^2}  = \frac{\frac{2+x}{x} -ln(2x)}{(2+x)^2} = \frac{2+x -x\cdot ln(2x)}{x(2+x)^2}\)

Answer 4

Es geht auch mit der Produktregel:

f(x) = ln(2x)*(2+x)^-1

u= ln(2x) , u' = 2/x

v= (2+x)^-1, v' = -(2+x)^-2

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