Aufgabe zum uneigentlichen Integral

Question

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Unendlich lange Sandstrände. In der Tourismusbranche wird manchmal mit einem unendlich langen Sandstrand in einer Bucht geworben.

Ein solcher Strand soll modelliert werden durch die Fläche, die der Graph der Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{2 e^{2}}=\frac{1}{2} e^{-x} \) mit der \( x \)-Achse im Intervall \( [0, \infty \mid \) einschlie \( B t, m i t x \) und \( f(x) \) in \( 100 \mathrm{~m} \). - Untersuchen Sie, ob an diesem Abschnitt des Sandstrandes beliebig viele Touristen Platz finden. Gehen Sie dabei davon aus, dass ein Urlaubsgast etwa \( 5 \mathrm{~m}^{2} \) Sandstrand zum Sonnen benötigt. Hinweis: Die Funktion \( F \) mit \( F(x)=-\frac{1}{2} e^{-x} \) ist eine Stammfunktion von \( f \).

Kann jemand bitte bei der folgenden Aufgabe zum uneigentlichen Integral helfen?

Answer 1

\(  \int\limits_0^\infty \frac{1}{2} e^{-x} dx \)

Betrachte dazu \(  \int\limits_0^z \frac{1}{2} e^{-x} dx \) für z gegen ∞.

Das gibt \( [ -\frac{1}{2} e^{-x}]_0^z = -\frac{1}{2} e^{-z} +\frac{1}{2} e^{0} \)

Für z gegen ∞ geht der 1. Summand gegen 0 und der zweite ist 0,5.

Damit ist die Flächenmaßzahl des unendlich langen Strandes 0,5ha,

also nur für endlich viele Gäste geeignet.