Satz von Stokes: wie berechne ich das Integral?

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Fläche F ⊂ R³ als Schnittmenge der Mengen

M1:= {(x,y,z) ∈ R³ I y+z=2} und M2:= {(x,y,z) ∈ R³ I x²+y² ≤ 1},

und das Vektorfeld: f: R³ → R³ definiert durch f(x,y,z):= (-y²,x,z²)

Berechnen Sie

Text erkannt:

\( \oint_{\partial F}\langle f(x), \mathrm{d}(x)\rangle \).

Problem/Ansatz:

Die eine Menge ist eine Gerade: y=2-z. Die andere Menge ist ein Kreis mit dem Radius 1. Das Problem ist das die Gerade und der Kreis in unterschiedlichen Ebenen sind. Was erhalte ich wenn sich diese Mengen schneiden, wo schneiden sie sich überhaupt? Ich muss ja die Integralgrenzen von der Schnittmenge irgendwie herausfinden.

Comments

Schau die Mengen nochmal genau an. Sie liegen im \(\mathbb R^{\color{blue}3}\).

Wenn eine Variable in einer Gleichung nicht vorkommt, heißt das, dass sie beliebig sein kann.

Zum Beispiel ist daher \(M_2\) ein unendlich langer Zylinder um die \(z\)-Achse.
Erkennst du jetzt, was \(M_1\) ist?

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Eine unendlich lang gestreckte Ebene in x-Richtung?

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@Rudstar
Jenau.
Wenn du dir \(x=0\) denkst, kannst du dir den Schnitt dieser Ebene mit der y-z-Ebene als Gerade zeichnen.

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Verstehe, wie wäre es am schlauesten die Achsen zu wählen. Z-Achse nach oben, y-Achse nach rechts und x Achse quer? Kann es mir wegen den unterschiedlichen Ebenen nicht gescheit vorstellen

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@Rudstar
Genau wie du es beschreibst. Denn dann liegt die Schnittgerade z=2-y in der Ebene des Zeichenblattes.
Hier kannst du dir das mal auf desmos anschauen.

Answer 1

Aloha :)

Die Menge \(M_1\) ist 2-dimensional, denn wir haben 3 Variablen \((x;y;z)\in\mathbb R^3\), von denen wir wegen der Einschränkung \(\,y+z=2\,\) nur 2 frei wählen können. Wählen wir \(x\) und \(y\), ist \(z\) durch die Gleichung festgelegt. Wählen wir \(x\) und \(z\), ist \(y\) durch die Gleichung festgelegt. Wir entscheiden uns für die freie Wahl von \(x\) und \(y\), sodass wir folgenden Abtastvektor für alle Punkte der Fläche einführen können:$$\vec r_1(x;y)=\begin{pmatrix}x\\y\\2-y\end{pmatrix}\quad;\quad x;y\in\mathbb R$$

Die Menge \(M_2\) ist 3-dimensional. Die Variable \(z\) können wir stets frei wählen. Die Wahl von \(x\) und \(y\) ist durch die Ungleichung \(\,x^2+y^2\le1\,\) zwar eingeschränkt, aber solange nicht \(x=\pm1\) oder \(y=\pm1\) gewählt wird, ist die jeweils andere Variable durch die Ungleichung nicht fest vorgegeben, kann also in gewissem Rahmen noch frei gewählt werden. Im Abtastvektor für alle Punkte des Volumens verwenden wir Polarkoordinaten, um die Einschränkung durch die Ungleichung einfacher fassen zu können:$$\vec r_2(r,\varphi,z)=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in\mathbb R$$

\(M_1\) ist eine unendlich große Ebene. \(M_2\) ist ein unendlich langes Zylindervolumen.

Die Schnittmenge beider Mengen \(M_1\) und \(M_2\) schneidet aus dem Zylinder eine Scheibe heraus. Ihr Abtastvektor muss beide Bedingungen \(\,y+z=2\,\) und \(\,x^2+y^2\le1\,\) erfüllen:$$\vec r(r,\varphi)=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\2-r\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$

Jetzt solltest du das Integral berechnen können. Den Rand der Schnittmenge erhältst du durch Festhalten von \(r=1\), sodass \(\varphi\in[0;2\pi]\) deine Integrationsvariable wird. Zur Anwendung des Stokes'schen Satzes brauchst du noch das Flächenelement:$$d\vec f=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial r}\times\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\right)dr\,d\varphi=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\-\sin\varphi\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\-r\cos\varphi\end{pmatrix}dr\,d\varphi=\begin{pmatrix}0\\r\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$

So, jetzt gönne ich dir den Spaß bei den Berechnungen... ;)

Wenn du nicht weiter kommst, frag einfach nochmal hier nach.

Comments

Wow vielen Dank!

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\operatorname{rot} f=\nabla \times f=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1+2 y\end{array}\right) \\ \vec{r}(r, \varphi)=\left(\begin{array}{c}r \cos \varphi \\ r \sin \varphi \\ 2-\min r \sin \varphi\end{array}\right) \quad r \in[0,1] ; \varphi \in[0,2 \pi] \\ 0 \quad \int \limits_{F}\left\langle\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1+2 y\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}r \cos \varphi \\ r \sin \varphi \\ 2-r \sin \varphi\end{array}\right)\right\rangle \operatorname{2rdrd\varphi } \\ \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{1}<\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ 1+2 r \sin \varphi\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}r \cos \varphi \\ -\sin \varphi \\ 2-r \sin \varphi\end{array}\right)>2 r d r d \varphi \\\end{array} \)

Müsste ich dann das berechnen?

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Du kannst das Integral direkt berechnen, indem du mit \(r=1\) über den Rand integrierst:$$I=\oint\limits_{\partial F}\begin{pmatrix}-y^2\\x\\z^2\end{pmatrix}\,d\vec r=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}-y^2(\varphi)\\x(\varphi)\\z^2(\varphi)\end{pmatrix}\,\frac{d\vec r(\varphi)}{d\varphi}\,d\varphi$$$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}-\sin^2\varphi\\\cos\varphi\\(2-\sin\varphi)^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\-\cos\varphi\end{pmatrix}d\varphi$$

oder indem du den Satz von Stokes verwendest:$$I=\int\limits_F\operatorname{rot}\begin{pmatrix}-y^2\\x\\z^2\end{pmatrix}\,d\vec f=\int\limits_F\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-y^2\\x\\z^2\end{pmatrix}\,d\vec f$$$$\phantom I=\int\limits_F\begin{pmatrix}0\\0\\1+2y\end{pmatrix}\,d\vec f=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}0\\0\\1+2r\sin\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\r\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$