Zeigen Sie, dass auf der Menge (ℤ \times ℤ^{\neq 0}) / \sim die "Verknüpfung"

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

1. Aufgabe: Wir betrachten die Menge \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{\neq 0}:=\{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\} \) zusammen mit einer Äquivalenzrelation
\( (a, b) \sim(c, d): \Leftrightarrow a d=b c . \)
(a) Zeigen Sie, dass auf der Menge \( \left(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^{\neq 0}\right) / \sim \) die "Verknüpfung"
\( \overline{(a, b)}+\overline{(c, d)}:=\overline{(a+c, b+d)} \)
nicht wohldefiniert ist.

Problem/Ansatz:

Ehrlich gesagt, verstehe ich nicht, was hier unstimmig sein muss, damit es als nicht wohl definiert gilt.
Muss (a,b)+(c,d) ≠ (a',b')+(c',d') sein, wenn a',b'∈ℤ, b'≠0 und (a',b')~(c',d') ist?

Answer 1

Du kannst es leicht durch ein Beispiel zeigen.

Betrachte \( \overline{(3,5)}+\overline{(4,5)}=\overline{(7, 10)} \) #

In der gleichen Klasse wie (3,5) ist aber auch (6,10), denn

3*10 =5*6 .

Somit gilt \( \overline{(3,5)}=\overline{(6,10)} \).

Also müsste \( \overline{(6,10)}+\overline{(4,5)} \) Das gleiche Ergebnis

geben wie bei #  . Es gibt allerdings \( \overline{(10, 15)} \) .

Wäre es wohldefiniert, dann müsste Die Klasse   \( \overline{(10, 15)} \)

gleich der Klasse   \( \overline{(7, 10)} \)  sein.

Nun ist aber 10*10≠7*15, also sind die Klassen verschieden.

D.h. Bei dieser "Verknüpfung" (Es ist halt keine.) würde das

Ergebnis von der Wahl des Vertreters in der Klasse abhängen.

Das ist so ähnlich, als wenn man bei der Bruchrechnung

\(  \frac{a}{b}+ \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}  \) definieren

würde, dann würden erweiterte oder gekürzte Brüche

nicht mehr gleiche Ergebnisse liefern.