Löse die Gleichung (komplexe Zahlen)

Question

Löse die Gleichung z^6 + 64i = 0

Answer 1

Finde die 6 Zahlen z, für die z^6=-64i gilt.

-64i lässt sich auch als 64(cos π +i*sin π) darstellen.

Anders ausgedrückt: 64i hat den Betrag 64 und das Argument π.

Comments

Aber woher soll ich wissen, welche pi's ich benutzen soll.

Wie kommt man auf:

z = 2 * (cos(π/3) + i * sin(π/3))
z = 2 * (cos(π) + i * sin(π))
z = 2 * (cos(2π/3) + i * sin(2π/3))
z = 2 * (cos(3π/3) + i * sin(3π/3))
z = 2 * (cos(4π/3) + i * sin(4π/3))
z = 2 * (cos(5π/3) + i * sin(5π/3))

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Aber woher soll ich wissen, welche pi's ich benutzen soll.

Genau wie es nur einen Rudi Völler gibt,

gibt es auch nur EIN π.

Weißt du nicht, was beim Potenzieren einer komplexen Zahl mit dem Argument passiert?

Hat die komplexe Zahl z das Argument φ, so hat die Potenz z^n das Argument n*φ.

Suche also diejenigen Winkel φ, für die 6*φ=π oder 6*φ=3π oder 6*φ=5π ... gilt.

(Bedenke: sin π = sin (π+2kπ), ebenso cos π = cos(π+2kπ).)

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F-Dur, wenn mich mein Gehör nicht trügt. Die Oberteile der beiden Vortänzer erinnern an das Grün von Bananenstauden (vielleicht eine verdeckte Anspielung an den Originaltext: Mi verso es de un verde claro.). Der Zweck der Kopfbedeckung ist unklar, denn es spielt sich in einem Innenraum ab, und der BMI der Kläuse ist unvorteilhaft. Aber es geht ja hier um pi, und wenn man die beiden fragt, ob die letzten drei Stellen dieser Zahl 3,14 sind, werden sie wahrscheinlich in der Lage sein, das zu bejahen. Angemerkt sei noch, dass der eine Klaus ein falscher Klaus ist, nämlich ein Claas.

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Übrigens : wieviele is gibt es ?

Answer 2

z^6 + 64·i = 0
z^6 = - 64·i
z^6 = 64·e^(i·3/2·pi)

z1 = 2·e^(i·1/4·pi)

Alle weiteren Lösungen (5 Stück) ergeben sich, wenn man zum Winkel vielfache von 2·pi/6 = pi/3 addiert.