Wie löse ich die komplexe Gleichung z^4+4=0?

Question

Aufgabe:

Wie komme löse ich diese komplexe Gleichung bzw. wie komme ich auf z=1+i v z=–1–i v z=1–i v z=–1–i ?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Nullsellon des Nemers \( z^{4}+4=0 \quad | z^{2}=x \) subsituier
\( x^{2}+4= \)
$$ \begin{aligned} x &=\pm \sqrt{4}=\pm \sqrt{2} y=\pm 2 i \\ z^{2}=\pm 2 i & \rightarrow 2_{1}=2 i \end{aligned} $$
Riclestastitutions \( z^{2}=2 i | \sqrt{1} \quad z^{2}=-2 i \)
$$ z=\pm \sqrt{2 i} \quad z=\pm \sqrt{-2 i}=\pm \sqrt{i^{2} 2 i}=\pm i \sqrt{a_{i}} $$
Wie loome ich aff \( z=1+i \vee z=-1-i \vee z=-i \quad v z=-1+i \)

Comments

Kennst du schon die trigonometrische Form komplexer Zahlen oder nur z=a+i*b?

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Tipp:  \(0=z^4+4=(z^2+2z+2)\cdot(z^2-2z+2)\). Wende die pq-Formel zweimal an.

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Wie kommst du auf diese Umformung? Und ja tue ich

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Die trigonometrische Form ist hier sicher das Mittel der Wahl, eine Lösung ist aber auch mit dem Ansatz z=a+bi problemlos möglich.

Answer 1

z^4 = -4

Also sind die Lösungen die 4 verschiedenen 4. Wurzeln aus -4.

-4 hat den Betrag 4 und das Argument 180°.

Die 4. Wurzeln haben also alle den Betrag 2 und

die erste hat das Argument  180°:4 = 45 ° ,
          ist also √2 * (cos(45°)+i*sin(45°)) =  √2 * ( √2 / 2    +  i * √2  / 2) = 1+i

die zweite hat das Argument  (360°+180°):4 = 135 ° 
      ist also √2 * (cos(135°)+i*sin(135°)) =  ……….

die dritte hat das Argument  (2*360°+180°):4 = 225 °    
   ist also √2 * (cos(225°)+i*sin(225°)) =  ……….

die vierte hat das Argument  (3*360°+180°):4 = 315 °    
    ist also √2 * (cos(315°)+i*sin(315°)) =  ……….

Answer 2

Ich finde es hilfreich bei höheren Potenzen die Exponentialform zu verwenden

z^4 + 4 = 0
z^4 = -4
z^4 = 2^2 * EXP((pi + k·2·pi)·i)
z^4 = √2 * EXP((pi + k·2·pi)/4·i)

z = -1 - i
z = -1 + i
z = 1 - i
z = 1 + i