Zu 1)
Eine Funktion f : R n -> R heißt homogen vom Grad r , wenn für jede reelle Zahl λ > 0 gilt:
f ( λ x1 , λ x2 , ... , λ xn ) = λ r f ( x1 , x2 , ... , xn )
Für die vorliegende Funktion V : R 2 -> R ; V ( a , b ) = ( 1 / 3 ) b a 2 gilt:
V ( λ a , λ b ) = ( 1 / 3 ) λ b ( λ a ) 2
= ( 1 / 3 ) * λ b λ 2 a 2
= λ 3 ( 1 / 3 ) b a 2
= λ 3 V ( a . b )
Also ist V ( a , b ) homogen vom Grad 3.
Bedeutung: Multipliziert man alle Variablen mit dem Wert λ, so verändert sich der Funktionswert um das λ 3 - fache.
Eine Verdoppelung von Seitenlänge und Höhe der Pyramide führt also zum 2 ^ 3 = 8 - fachen Volumen.
Zu 2)
Das Totale Differential d f einer Funktion f ( x1 , x2 , ... , xn ) ist definiert als
d f = ( ∂ f / ∂ x1) d x1 + ( ∂ f / ∂ x2) d x2 + ... + ( ∂ f / ∂ xn) d xn
Für die vorliegende Funktion V ( a , b ) = ( 1 / 3 ) b a 2 ergibt sich demgemäß:
d V = ( ∂ V / ∂ a) da + ( ∂ V / ∂ b) db
= ( 2 / 3 ) * b * a * da + ( 1 / 3 ) a 2 * db
An der Stelle P ( 6 , 10 ) und für da = 1 und db = - 0,5 gilt somit:
d V = ( 2 / 3 ) * 10 * 6 * 1 + ( 1 / 3 ) * 6 2 * ( - 0,5 )
= 40 - 6 = 34
Interpretation:
Verlängert man die Seitenlänge einer quadratischen Pyramide von 6 auf 7 Meter und verringert ihre Höhe von 10 auf 9,5 m , so vergrößert sich ihr Volumen um etwa 34 m 3
Das totale Differential ergibt nur einen Näherungswert für die tatsächliche Volumenänderung, weil es nur für infinitesimal kleine Veränderungen da bzw. db definiert ist. Eine Veränderung von da =1 bzw. db = -0,5 wie im vorliegenden Beispiel ist jedoch nicht infinitesimal klein.
Zum Vergleich die Berechnung der tatsächlichen Volumenänderung:
V ( 6 , 10 ) = ( 1 / 3 ) * 10 * 6 2 = 120 m 3
V ( 7 ; 9,5 ) = ( 1 / 3 ) * 9,5 * 7 2 ≈ 155,2 m 3
Volumenänderung: 35,2 m 3
