Orthogonalität und Unterräume

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen, wenn die Vektoren U1,..,Um eine Basis von einem linearen Unterraum U sind, das dann für U' folgendes gilt: (U' steht für den Unterraum U mit dem Senkrechtsymbol als oberen Index).
U' = {x aus R^n : Skalarprod(x,U1) = 0 , ... , Skalarprod(x, Um) = 0 }

Wie gehe ich das ganze an (Bitte keine Lösungen)

Problem/Ansatz: s.o.

Answer 1

Wenn < , > das Skalarprodukt ist, dann ist die Definition

vermutlich so: \(   U^⊥ = \{ x \in \mathbb{R} | \forall u \in U <x,u>=0  \}  \)

Also musst du zwei Dinge zeigen:

1. Wenn \(  x \in U^⊥ \), dann folgt <x,ui> = 0 für alle i∈{1,...,m}. Und

2. Wenn für ein x∈ℝⁿ gilt <x,ui> = 0 für alle i∈{1,...,m}, dann gilt \(  x \in U^⊥ \).

Comments

Was ist genau mit dem zweiten gemeint?

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Das heißt:

Jedes Element aus der Menge

{x aus Rn : Skalarprod(x,U1) = 0 , ... , Skalarprod(x, Um) = 0 }

ist auch in U^⊥ .

Bei Mengengleichheit musst du ja immer 2 Sachen zeigen:

Jedes Element aus M1 ist in M2 und umgekehrt.

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Ich habe das jetzt so gemacht:

Ist x in U(senkrecht), dann folgt Skalarprodukt(x, Ui) = 0 für alle i aus {1,…,m}.

Wenn x in U(senkrecht) ist, so muss x nicht Element von U gelten, da sonst x = Ui mit i = 1,…,m & Skalarprodukt(x, Ui) ≠ 0 wäre, da dann Skalarprodukt(x,Ui) = (x,x) = 1 gelte.

Somit muss x nicht Element aus {U1,…,Um}  gelten. Da U1,…,Um ja linear unabhängig ist und alle x aus U(senkrecht) orthogonal zu diesem sein soll, ist auch x linear unabhängig zu allen Ui.

Sonit ist U(senkrecht) die orthogonale Komplemente von U uns enthält alle x aus R^n, welche orthogonal zu den Vektoren aus U sind.

Ist mein Ansatz so korrekt?

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Richtig ist:

U(senkrecht) ist das orthogonale Komplement von U und enthält

genau alle x aus Rⁿ, welche orthogonal zu ALLEN Vektoren aus U sind.

Falsch ist:

Wenn x in U(senkrecht) ist, so muss x nicht Element von U gelten;

denn 0 ist in beiden.

Zeigen musst du (unter Ausnutzung der

Basiseigenschaft von U1,..,Um)  dass folgende Äquivalenz gilt:

x hat mit jedem U_i ,i∈{1,...,m} das Skalarprodukt 0

<=> x hat mit jedem Element von U das Skalarprodukt 0

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Alles klar, dankeschön