Question

Finden Sie die Dimensionen der folgenden Vektorraeume.
a) Vektorraum aller diagonalen n × n-Matrizen mit Eintraegen in K.
b) Vektorraum aller anti-symmetrischen 3 × 3-Matrizen V = {A ∈ K^3×3
| A^T = −A}

Problem/Ansatz:

Hat jemand eine Idee wie ich an diese Aufgabe rangehen sollte? Wäre sehr dankbar für jede Hilfe!

Answer 1

Vektorraum aller diagonalen n × n-Matrizen mit Eintraegen in K.

ist isomorph zu K^n , also dim = n.

b) Betrachte mal eine 3x3 Matrix allgemein:

\(    A = \begin{pmatrix} a & b &c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}  \)Dann ist \(    A^T = \begin{pmatrix} a & d &g\\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix}  \)

Und es ist \(    -A = \begin{pmatrix} -a & -b & -c\\ -d & -e & -f \\ -g & -h & -i \end{pmatrix}  \)

A^T = −A hat also zur Folge  a=-a und b=-d und c=-g etc.

==>  a=e=i=0  und die Matrizen sehen alle so aus

 \(  A = \begin{pmatrix} 0 & b &c\\ -b & 0 & f \\ -c & -f & 0 \end{pmatrix}  \)

Also dim=3; denn eine Basis bilden z.B. die drei, bei denen eine der Variablen

b,c,f =1 und die anderen beiden 0 sind.