Berechnen Sie die Dimensionen der folgenden K-Vektorräume U.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Dimensionen der folgenden K-Vektorräume U.

\( K=\mathbb{F}_{11}, A=\left(\begin{array}{rrrr}4 & 7 & 9 & 4 \\ 5 & 1 & 10 & 7 \\ 9 & 5 & 10 & 10 \\ 0 & 8 & 2 & 10 \\ 4 & 5 & 3 & 7\end{array}\right) \in \mathbb{F}_{11}^{5 \times 4}, U \) sei der Raum, der von den Zeilen von \( A \) erzeugt wird.




\( K=\mathbb{Q}, U=\left\langle\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ x \\ y\end{array}\right) \mid x, y \in \mathbb{Q}\right\}\right\rangle \leq \mathbb{Q}^{3 \times 1} \)

Problem/Ansatz:

ich verstehe hier nicht ganz, wie ich die Dimensionen bei diesen Aufgaben berechnen soll, eine Erklärung wäre super.

Answer 1

Das zweite U ist gar kein Vektorraum.

Die Summe zweier Elemente ist kein Element von U.

Nach dem Studium der Kommentare merke ich, dass ich

zuerst etwas übersehen hatte. In der Menge sind nicht die

Elemente des Unterraums, sondern die Erzeugenden.

Dann wird da also ganz Q^3 erzeugt, also dim = 3.

Comments

Das zweite ist doch das Erzeugendensystem von U, oder wie meinst du das, dass U bzgl. der Addition nicht abgeschlossen ist?

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In dem U sind z.B.  (1;0;1) und (1 ; 1 ; 0 ) .

Aber deren Summe (2;1;1) hat als 1. Komponente eine 2,

ist also nicht in U.

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Was ich grad nicht verstehe ist, dass ich aus einer Linearkombination dieses Erzeugnisses das Element (2;1;1) bekommen müsste(z.B. für a = 1 und b = 1 : 1(1;0;1) + 1(1; 1; 0) = (2;1;1) ), und so wie ich das bisher verstanden habe, ist dann dieses Element(2;1;1) der Linearkombination auch in dem Vektorraum.

Oder verstehe ich hier etwas komplett falsch ?

Diese Bedingung, dass die 1 drin sein muss gilt ja nur für Vektoren aus denen das Erzeugnis gebildet wird, aber nicht für den Vektorraum U.

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Oder verstehe ich hier etwas komplett falsch ?

Nein, du verstehst das richtig. U ist ein Untervektorraum.

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Was wäre dann die Dimension ?

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(1, 0, 0) ist drin

(0,1,0) auch ( betrachte (1,1,0)-(1,0,0) )

Ebenso (0,0,1)

Die Dimension ist also 3.

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(0, 0, 1) sollte eigentlich nicht drin sein, also im Erzeugnis, da die Bedingung (1, x, y) ist.

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Betrachte hier

(1,0,1)-(1,0,0)

Beide sind doch in der Menge, deshalb liegt auch diese Linearkombination in U