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Sei \( D \) der Diagonalanteil einer symmetrisch positiv definiten Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) und \( b \in \mathbb{R}^{n} \). Zur Lösung des linearen Gleichungssystems \( A x=b \) soll das gedämpfte Jacobi-Verfahren
\( x^{(i+1)}=x^{(i)}+\omega D^{-1}\left(b-A x^{(i)}\right) \)
angewendet werden.
a) Stellen Sie die Fehlerfortpflanzungsmatrix auf und zeigen Sie, dass alle Eigenwerte von \( D^{-1} A \) reell und positiv sind.
b) Seien \( \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \ldots \leq \lambda_{n} \) die Eigenwerte von \( D^{-1} A \). Zeigen Sie, dass das gedämpfte JacobiVerfahren genau dann konvergiert, wenn \( 0<\omega<\frac{2}{\lambda_{n}} \) gilt.
c) Bestimmen Sie den optimalen Dämpfungsparameter \( \omega_{\text {opt }} \), sodass der Spektralradius der Fehlerfortpflanzungsmatrix minimal wird.
