In der Natur gilt die Heisenberg'sche Uschärferelation:$$\Delta x\cdot\Delta p\ge\frac{h}{4\pi}$$Sie besagt, dass man den Ort \(x\) und den Impuls \(p=m\cdot v\) eines Teilchens nie exakt messen kann. Es gibt immer eine Unschärfe \(\Delta x\) bzw. \(\Delta p\).
Wenn du z.B. die Geschwindigkeit \(v\) bzw. den Impuls \(p=m\cdot v\) eines fallenden Teilchens messen möchtest, brauchst du zwei Momentaufnahmen, einen Anfangsort zu einer Anfangszeit \((x(t);t)\) sowie einen Endort zu einem späteren Zeitpunkt \((x(t+\Delta t);t+\Delta t)\). Die ermittelte Geschwindigkeit ist dann:$$v=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{(t+\Delta t)-t}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$Du kennst nun die Geschwindigkeit, weißt aber nicht, für welchen Ort sie genau gegolten hat, für den Startort \(x\) oder für den Endort \((x+\Delta x)\) oder für einen Ort irgendwo dazwischen? Du kennst nur die Durchschnittsgeschwindigkeit des Teilchens im Strecken-Intervall \(\Delta x\).
Du kannst noch nicht mal den Ort \(x\) des Teilchens mit einer einzigen Momentaufnahme exakt messen, weil selbst dieser eine Messvorgang eine gewisse Zeit \(\Delta t\) benötigt, in dem das Teilchen seinen Ort ändern kann.
Mit \(\Delta\) bezeichnet man Intervalle mit einer Länge größer \(0\).
Auf Grund der physikalischen Gesetze kannst du jedoch die Flugbahn des Teilchens im Fallen vorhersagen. In der Mathematik kann man dann die Momentan-Geschwindigkeit des Teilchens am Ort \(x\) berechnen, indem man die Ableitung der Flugbahn bestimmt. In diesem Fall wird das Zeitintervall \(\Delta t\), das sonst für den Messvorgang benötigt wird, mathematisch unendlich klein gegen \(0\) gerechnet:$$v=\frac{dx}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$$
Mit \(\;d\;\) bezeichnet man auf die Länge \(0\) schrumpfende Intervalle.
Das eigentlich Interessante daran ist, dass durch die Differentialrechnung einem Bruch \(\frac{0}{0}\) in gewisser Weise eine reelle Zahl zugeordnet werden kann. Dies geht in der realen Welt wegen der Heisenberg'schen Unschärferelation nicht.
