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Aufgabe . Untersuchen Sie die angegebene Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
\( \left(x_{n}, y_{n}, z_{n}\right)=\left(\frac{\sqrt[n]{n}+3^{n}+n^{3}}{10+n^{9}+9^{n}}, \sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}+1}, \frac{1}{3} \log \left(n^{3}\right)-\log (n+2)\right) \text { in } \mathbb{R}^{3} \)

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Aloha :)

Wir prüfen die Konvergenz jeder einzlnen Komponente des gegebenen Vektors.

$$\small x_n=\frac{\sqrt[n]{n}+3^n+n^3}{10+n^9+9^n}\stackrel{(1)}{<}\frac{\sqrt[n]{n}+3^n+n^3}{9^n}\stackrel{(2)}{\le}\frac{3^n+2n^3}{9^n}\stackrel{{n\ge3}\atop{(3)}}{\le}\frac{3^n+2\cdot3^n}{9^n}=\frac{3^{n+1}}{9^n}=3\left(\frac13\right)^n\to0$$

(1) Wir machen den Nenner kleiner, dadurch wird der Bruch größer.

(2) Wir machen den Zähler größer \(\left(\sqrt[n]{n}\le n\le n^3\right)\), dadurch wird der Bruch größer.

(3) Für \(\,n\ge3\,\) ist \(\,n^3\le 3^n\,\), wir vergrößern daher den Zähler nochmal.

Da \(x_n>0\) klar ist, haben wir damit die Konvergenz gefunden: \((x_n)\to0\).

$$\small y_n=\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1}=\frac{(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1})\pink{(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1})}}{\pink{(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1})}}$$$$\small\phantom{y_n}=\frac{\left(\sqrt{n^2+n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n^2+1}\right)^2}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1}}=\frac{(n^2+n+1)-(n^2+1)}{n\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$$$$\small\phantom{y_n}=\frac{\pink n}{\pink n\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+\pink n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$$$$\small\phantom{y_n}\to\frac{1}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1+0}}=\frac{1}{1+1}=\frac12$$Damit haben wir auch die Konvergenz der 2-ten Folge gefunden: \((y_n)\to\frac12\).

$$z_n=\frac13\log(n^{\pink3})-\log(n+2)=\frac13\cdot\pink3\log(n)-\log(n+2)=\log(n)-\log(n+2)$$$$\phantom{z_n}=\log\left(\frac{n}{n+2}\right)=\log\left(\frac{(n\pink{+2})\pink{-2}}{n+2}\right)=\log\left(1-\frac{2}{n+2}\right)\to\log(1-0)=0$$Also konvergiert auch die 3-te Folge: \((z_n)\to0\).

Zusammengefasst konvergiert die Folge und es gilt:$$(x_n;y_n;z_n)\to\left(0;\frac12;0\right)$$

Avatar von 152 k 🚀

Muss man bei (2) die Ungleichung eigentlich nicht mittels vollständiger Induktion beweisen bei so einer Aufgabe?

Streng genommen ja. Die Frage ist aber immer, was man als bekannt voraussetzen kann. Theoretisch müsste man jede algebraische Umformung auf die Körper-Axiome zurückführen. Hier habe ich vorausgestzt, dass man die Gültigkeit von$$\sqrt[n]{n}\le n\le n^3$$kennt, weil sie ja "klar" ist.

Genauso wie z.B.:$$\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$$$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$nach kurzer Überlegung völlig klar sind.

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1. kürze mit 9^n und rechne weiter , ich bekomme 0 als Grenzwert raus

2. benutze 3. binomische Formel a-b = (a-b)*(a+b)/(a-b), kürze den Bruch durch n und erhalte den Grenzwert 1/2.

3. Benutze die ln-Regeln : a) u*ln(v)=ln(v^u)

und b) ln(u/v)=ln(u)-ln(v) und rechne weiter. Ich komme auf den Grenzwert ln(1)=0.

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