Untersuchen Sie die angegebene Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Question

Aufgabe . Untersuchen Sie die angegebene Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
\( \left(x_{n}, y_{n}, z_{n}\right)=\left(\frac{\sqrt[n]{n}+3^{n}+n^{3}}{10+n^{9}+9^{n}}, \sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}+1}, \frac{1}{3} \log \left(n^{3}\right)-\log (n+2)\right) \text { in } \mathbb{R}^{3} \)

Answer 1

Aloha :)

Wir prüfen die Konvergenz jeder einzlnen Komponente des gegebenen Vektors.

$$\small x_n=\frac{\sqrt[n]{n}+3^n+n^3}{10+n^9+9^n}\stackrel{(1)}{<}\frac{\sqrt[n]{n}+3^n+n^3}{9^n}\stackrel{(2)}{\le}\frac{3^n+2n^3}{9^n}\stackrel{{n\ge3}\atop{(3)}}{\le}\frac{3^n+2\cdot3^n}{9^n}=\frac{3^{n+1}}{9^n}=3\left(\frac13\right)^n\to0$$

(1) Wir machen den Nenner kleiner, dadurch wird der Bruch größer.

(2) Wir machen den Zähler größer \(\left(\sqrt[n]{n}\le n\le n^3\right)\), dadurch wird der Bruch größer.

(3) Für \(\,n\ge3\,\) ist \(\,n^3\le 3^n\,\), wir vergrößern daher den Zähler nochmal.

Da \(x_n>0\) klar ist, haben wir damit die Konvergenz gefunden: \((x_n)\to0\).

$$\small y_n=\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1}=\frac{(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1})\pink{(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1})}}{\pink{(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1})}}$$$$\small\phantom{y_n}=\frac{\left(\sqrt{n^2+n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n^2+1}\right)^2}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1}}=\frac{(n^2+n+1)-(n^2+1)}{n\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$$$$\small\phantom{y_n}=\frac{\pink n}{\pink n\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+\pink n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$$$$\small\phantom{y_n}\to\frac{1}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1+0}}=\frac{1}{1+1}=\frac12$$Damit haben wir auch die Konvergenz der 2-ten Folge gefunden: \((y_n)\to\frac12\).

$$z_n=\frac13\log(n^{\pink3})-\log(n+2)=\frac13\cdot\pink3\log(n)-\log(n+2)=\log(n)-\log(n+2)$$$$\phantom{z_n}=\log\left(\frac{n}{n+2}\right)=\log\left(\frac{(n\pink{+2})\pink{-2}}{n+2}\right)=\log\left(1-\frac{2}{n+2}\right)\to\log(1-0)=0$$Also konvergiert auch die 3-te Folge: \((z_n)\to0\).

Zusammengefasst konvergiert die Folge und es gilt:$$(x_n;y_n;z_n)\to\left(0;\frac12;0\right)$$

Comments

Muss man bei (2) die Ungleichung eigentlich nicht mittels vollständiger Induktion beweisen bei so einer Aufgabe?

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Streng genommen ja. Die Frage ist aber immer, was man als bekannt voraussetzen kann. Theoretisch müsste man jede algebraische Umformung auf die Körper-Axiome zurückführen. Hier habe ich vorausgestzt, dass man die Gültigkeit von$$\sqrt[n]{n}\le n\le n^3$$kennt, weil sie ja "klar" ist.

Genauso wie z.B.:$$\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$$$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$nach kurzer Überlegung völlig klar sind.

Answer 2

1. kürze mit 9^n und rechne weiter , ich bekomme 0 als Grenzwert raus

2. benutze 3. binomische Formel a-b = (a-b)*(a+b)/(a-b), kürze den Bruch durch n und erhalte den Grenzwert 1/2.

3. Benutze die ln-Regeln : a) u*ln(v)=ln(v^u)

und b) ln(u/v)=ln(u)-ln(v) und rechne weiter. Ich komme auf den Grenzwert ln(1)=0.