Überprüfen Sie, ob die Abbildung g: (ℤ, +, ·) —> (ℤ, +, ·), n ↦ 2n ein Ringhomomorphismus ist.

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob die Abbildung

g: (ℤ, +, ·) —> (ℤ, +, ·), n ↦ 2n

ein Ringhomomorphismus ist.

Überprüfen Sie dann, ob die ungeraden Zahlen ein Unterring der ganzen Zahlen (ℤ, +, ·) bilden.

Betrachten Sie die Teilmenge S := {0, 2, 4} von ℤ₆. Bildet (S, + , •) einen Unterring von (ℤ₆, +, )?

Problem/Ansatz:

Wie geht man hier am besten voran?

Answer 1

g: (ℤ, +, ·) —> (ℤ, +, ·), n ↦ 2n  ein Ringhomomorphismus ist.

Dann müsste ja z.B gelten    g(2*3) = g(2)*g(3) gelten.

Aber g(2*3)=g(6)=12  und  g(2)*g(3)= 4*6 = 24 .

Also ist es keiner.

Überprüfen Sie dann, ob die ungeraden Zahlen ein Unterring der ganzen Zahlen (ℤ, +, ·) bilden. Tun sie nicht, weil z.B. 5+7= 12 , also ist das Ergebnis keine ungerade Zahl.

Also ist die Menge der ungeraden Zahlen nicht abgeschlossen bzg. +.

==>  Sie bilden keinen Unterring.

Bildet (S, + , •) einen Unterring von (ℤ6, +, *) ?

Das ist wohl so: Zeige, das für alle x,y∈S  x+y∈S und -x∈S und x*y∈S gilt.