Beweisen Sie, dass die Abbildung R[t] → R, P 7→ P(r), ein Ringhomomorphismus ist.

Question

Aufgabe:

Sei R ein kommutativer Ring und R[t] der Polynomring über R.
Sei r ∈ R ein beliebiges Ringelement. Beweisen Sie, dass die Abbildung
R[t] → R, P → P(r),
die in ein Polynom P das Ringelement r einsetzt, ein Ringhomomorphismus ist.

Answer 1

Seien also f,g ∈R[t] . Nennen wir die Abb. mal E_r ( wie einsetzen von r )

==>  E_r(f+g)=(f+g)(r) = f(r) + g(r) = E_r(f) + E_r(g)

Also ist E_r additiv.

Entsprechend zeige auch: E_r ist homogen.