a)
Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks mit der Seitenlänge a ist :
AFünfeck = a 2 * ( 5 / 4 ) * tan ( 54 ° ) = a 2 * 1,7204774
Somit hat die Grundfläche des gegebenen Pyramidenstumpfes einen Inhalt von:
AGrund = 15 2 * 1,7204774 ≈ 387,10 cm 2
und seine Deckfläche einen Inhalt von:
ADeck = 10 2 * 1,7204774 ≈ 172,05 cm 2
b)
Das Volumen V des gegebenen Pyramidenstumpfes ist:
V = ( h / 3 ) * ( AGrund + ADeck + √ ( AGrund * ADeck ) )
= ( 8 / 3 ) * ( 387,10 + 172,05 + √ ( 387,10 * 172,05 ) )
≈ 2179,26 cm 3
c)
Die Oberfläche des gegebenen Pyramidenstumpfes besteht aus der Grund- und der Deckfläche sowie 5 gleich großen, gleichschenkligen Trapezen. Die Grundseitenlänge eines jeden dieser Trapeze ist gleich der Seitenlänge A = 15 cm des Grundflächenfünfecks des Pyramidenstumpfes, die Dachseitenlänge ist gleich der Seitenlänge a = 10 cm des Deckflächenfünfecks des Pyramidenstumpfes.
Die Höhe hT eines jeden dieser Trapeze ist Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, dessen eine Kathete die Höhe h = 8 cm des Pyramidenstumpfes und dessen andere Kathete die Differenz Ru - ruaus den Inkreisradien des Grund- und des Deckflächenfünfecks des Pyramidenstumpfes ist.
Es gilt:
Ru = ( 15 / 10 ) * √ ( 50 + 10 * √ 5 )
sowie
ru = ( 10 / 10 ) * √ ( 50 + 10 * √ 5 )
also:
Ru - ru
= ( 15 / 10 ) * √ ( 50 + 10 * √ 5 ) - ( 10 / 10 ) * √ ( 50 + 10 * √ 5 )
= ( 1 / 2 ) * √ ( 50 + 10 * √ 5 )
≈ 8,5 cm
Nach dem Satz des Pythagoras gilt daher:
hT = √ ( 8 2 + 8,5 2 ) ≈ 11,7 cm
und damit für die Fläche A T eines der fünf Seitentrapeze des Pyramidenstumpfes:
AT = ( 15 + 10 ) / 2 * 11,7 = 146,25 cm 2
Der Oberflächeninhalt O des Pyramidenstumpfes ist somit:
O = AGrund + ADeck + 5 * AT
= 387,10 cm 2 + 172,05 cm 2 + 5 * 146,25 cm 2
= 1290,4 cm 2
