Es sei f : X -› Y eine Abbildung von Mengen. Sei U C X eine beliebige nicht-leere Teilmenge.

Question

Aufgabe: Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Es sei \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung von Mengen. Sei \( U \subset X \) eine beliebige nicht-leereTeilmenge. Beweisen oder widerlegen (Gegenbeispiel) Sie die beiden folgenden Inklusionen:
1. \( U \subset f^{-1}(f(U)) \)
2. \( f^{-1}(f(U)) \subset U \)

Answer 1

\( f^{-1}(f(U)) \subset U \) stimmt nicht

Betrachte f:ℝ→ℝ  f(x)= x^2   und U=ℝ⁺  ∪ {0}

Dann ist f(U)=ℝ  und \( f^{-1}(f(U))  \) enthält alle

x∈ℝ, deren Bild in ℝ liegt, also insbesondere auch -1,

das ist aber nicht in U.

\( U \subset f^{-1}(f(U)) \) stimmt allerdings.

Bew.: Sei x∈U . (Gibt es, da U nicht leer.)

Da U⊆X gehört x zum Def.bereich von f,

also existiert y∈Y mit f(x)=y, also y∈f(U)  .

Damit ist x in der

Urbildmenge von f(U).  q.e.d.