A, B und C sind beliebige Mengen. Pfrüfe die Mengen (A \ B) U C und A \ (B U C) auf Gleichheit

Question

A, B und C sind beliebige Mengen. Prüfe die Mengen (A \ B) U C und A \ (B U C) auf Gleicheit. Im Falle von Ungleichheit: Beziehung zwischen den Mengen finden und konkretes Beispiel angeben, bei dem die Mengen nicht gleich sind.

Answer 1

hier lohnt es sich doch, ein paar Bildchen zu malen:

Die orange Fläche der ersten Figur ist \(A \backslash B\). Die Komposition \(M_1 = (A \backslash B) \cup C\) ist dann die gesamte farbige Fläche. In der zweiten Figur ist \(C \cup B\) violett und \(M_2 = A \backslash (B \cup C)\) ist dann nur noch die orange Fläche.

Es ist bereits offensichtlich, dass die Mengen nicht gleich sind. Prüfe das z.B. für ein Element \(x | x \in C \). In der ersten Menge \(M_1\) ist \(x\) enthalten wegen \(\dots \cup C\) und in der zweiten Menge \(M_2\) sicher nicht wegen \( \dots \backslash ( \dots \cup C)\).