Vektoren nach Zylinderkoordinaten ausdrücken

Question

Aufgabe:
Drücken Sie folgende Bahn in Zylinderkoordinaten (ρ,φ.z) aus:

$$ \vec{r}(t) = (\frac{v_{0,r}}{w_{c}}\cdot cos(w_{c}t),\frac{v_{0,r}}{w_{c}}\cdot sin(w_{c}t),v_{0,z}t ) $$

Problem/Ansatz:

ρ = $$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$ = $$\sqrt{(\frac{v_{0,r}}{w_{c}}\cdot cos(w_{c}t))^{2}+(\frac{v_{0,r}}{w_{c}}\cdot sin(w_{c}t))^{2}}$$

Kann ich hier noch weiterrechnen?

Φ = $$arctan \frac{y}{x}  = arctan  • \frac{\frac{v_{0,r}}{w_{c}}\cdot sin(w_{c}t)}{\frac{v_{0,r}}{w_{c}}\cdot cos(w_{c}t)}$$

=arctan • tan(w_ct)

z = $$v_{0,z}t$$

Ist das so korrekt? An welcher Stelle könnte ich noch weiterrechnen?

Answer 1

Kann ich hier noch weiterrechnen? Ja !

\(\sqrt{(\frac{v_{0,r}}{w_{c}}\cdot cos(w_{c}t))^{2}+(\frac{v_{0,r}}{w_{c}}\cdot sin(w_{c}t))^{2}}\)

\(=\sqrt{\frac{v_{0,r}^2}{w_{c}^2}\cdot cos^2(w_{c}t)+\frac{v_{0,r}^2}{w_{c}^2}\cdot sin^2(w_{c}t)}\)

\(=\sqrt{\frac{v_{0,r}^2}{w_{c}^2}\cdot (cos^2(w_{c}t)+ sin^2(w_{c}t))}\)

\(=\sqrt{\frac{v_{0,r}^2}{w_{c}^2}\cdot 1}  = \frac{v_{0,r}}{w_{c}} \)

Comments

Kann man arctan • tan(w_ct) berechnen?

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Du meinst vermutlich arctan ( tan(w_ct)) = w_ct