Aloha :)
$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline2 & 12 & 7 & 12t+7 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\1 & 10 & 6 & 7t+8\\-2 & -4 & -2 & -6t+6 & +2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline0 & -8 & -5 & -2t-9 & \cdot(-1)\\1 & 10 & 6 & 7t+8 &+\text{Zeile 1}\\0 & 16 & 10 & 8t+22 & +2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline 0 & 8 & 5 & 2t+9 &\\1 & 2 & 1 & 5t-1 & \\0 & 0 & 0 & 4t+4\end{array}$$Damti die letzte Gleichung erfüllt ist, muss gelten:$$0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=4t+4 \implies 0=4t+4\implies \pink{t=-1}$$
Damit rechnen wir weiter:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline 0 & 8 & 5 & 7 &\div 5\\1 & 2 & 1 & -6 & -\frac15\cdot\text{Zeile 1}\\0 & 0 & 0 & 0\\\hline 0 & 1,6 & \pink1 & 1,4 & \\\pink1 & 0,4 & 0 & -7,4\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\end{array}$$Wir konnten zwei Spalten generieren, die aus lauter Nullen und genau einer \(\pink1\) bestehen. Wir stellen die daraus resultierenden Gleichungen um:$$z=1,4-1,6y\quad;\quad x=-7,4-0,4y$$und geben damit alle möglichen Lösungen an:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7,4-0,4y\\y\\1,4-1,6y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7,4\\0\\1,4\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}-0,4\\1\\-1,6\end{pmatrix}$$
Die Lösungen für \(t=-1\) liegen alle auf der angegebenen Geraden.
