Jeder Vektorraum besitzt endliches Erzeugendensystem

Question

Aufgabe:

Jeder Vektorraum besitzt ein endliches Erzeugendensystem. (w/f)

Problem:

Hallo! Ich muss beantworten, ob diese Frage wahr oder falsch ist. Wenn sie falsch ist muss ich ein Gegenbeispiel anführen und wenn sie wahr ist muss ich sie beweisen.

Die Aussage ist meiner Meinung nach falsch, da es ja unendlich dimensionale Vektorräume gibt. Wir wissen auch, dass die Basis das minimale Erzeugendensystem ist. Deshalb kann ich ja schlussfolgern, dass ein unendlich dimensionaler Vektorraum nur nicht endliche Erzeugendensysteme besitzt, da ja das minimale Erzeugendensystem (Basis) nicht endlich ist.

Mein Problem ist jetzt, dass ich mir einen unendlich dimensionalen Vektorraum nur schwer vorstellen kann und ich weiß auch nicht wie ich dazu ein Gegenbeispiel formulieren soll.

Meiner Meinung wäre R^R ein gutes Gegenbeispiel, aber wie kann ich mir da die Basis vorstellen, bzw. wie soll ich sie anschreiben?

Answer 1

Bestandteil der Angabe eines Gegenbeispiels umfasst nicht, eine Basis explizit anzugeben. Das wird dir für \(\mathbb R^{\mathbb R}\) auch nicht gelingen:

Der Beweis für die Existenz einer Basis für beliebige Vektorräume benutzt nämlich das hochgradig unkonstruktive Lemma von Zorn. (Siehe hier - unter "Existenzbeweis")

Für dein Gegenbeispiel reicht es aus, einen Vektorraum anzugeben und zu zeigen, dass es unendlich viele linear unabhängige Vektoren gibt, denn laut Basisergänzungssatz (siehe ebenfalls obigen Link), kann jede linear unabhängige Familie zu einer Basis ergänzt werden.

Da du mit Polynomen - die übrigens in \(\mathbb R^{\mathbb R}\) enthalten sind - nichts anfangen kannst, kannst du zum Beispiel die folgende Familie von Funktionen in \(\mathbb R^{\mathbb R}\) betrachten:

 \( n\in\mathbb N \subset \mathbb R\) definiere \(e_n(x) = 1\) für \(x=n\) und \(e_n(x) = 0\) sonst.

Dann ist die Familie \((e_n)_{n\in\mathbb N}\) linear unabhängig und offenbar nicht endlich.

Wichtig ist hier noch zu erwähnen (siehe ebenfalls obigen Link unter "Wichtige Eigenschaften"), dass Basen desselben Vektorraumes dieselbe Kardinalität haben.

Comments

Um das Argument schlüssig zu machen, fehlt noch so etwas wie "Alle Basen eines Vektorraumes sind gleichmächtig".
Denn deine Angabe eines speziellen unendlichen Systems l.u. Vektoren schließt ja zunächst nicht aus, dass es vielleicht ein ganz und gar anderes endliches System geben könnte, das Erzeugendensystem ist.

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Jeder Vektorraum besitzt ein endliches Erzeugendensystem. (w/f)

Was soll man sich unter diesem System vorstellen? Was heißt ENDLICH im Kontext?

Kann man den Sachverhalt einem Laien irgendwie anschaulich erklären?

Wo spielt das in der Wissenschaft welche Rolle?

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@hj2166
Genau. Hab ich ergänzt. Das muss unbedingt dazugesagt werden.

Vielen Dank für den Hinweis.

Answer 2

Betrachte den Raum der Polynome beliebigen Grades. Eine Basis bilden dann die Monome.

Comments

Wenn ich ehrlich bin verstehe ich deine Antwort nicht ganz. Wie kann ich mir das vorstellen?

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Kennst du den Vektorraum der Polynome?

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Nein, soweit sind wir noch nicht im Skriptum, aber den Vektorraum der reellen Funktionen haben wir bereits kurz behandelt.

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Gut, der ist auch unendlichdimensional.