Bestimmen Sie dabei insbesondere \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) und begründen Sie Ihre Antwort.

Question

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Aufgabe 26 (5 Punkte). Betrachten Sie die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\( f(x, y):=\frac{e^{x+y}-x-y-1}{x^{2}+y^{2}} \quad \text { für }(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} . \)

Definieren Sie \( f(0,0) \) so, dass \( f \) die partielle Ableitung \( \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \) besitzt. Bestimmen Sie dabei insbesondere \( \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \) und begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Aloha :)

Die partielle Ableitung von \(f(x;y)\) nach \(x\) an der Stelle \((0;0)\) lautet:$$\pink{\frac{\partial f}{\partial x}(0;0)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h;y)-f(x;y)}{h}\bigg|_{(x;y)=(0;0)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(h;0)-f(0;0)}{h}$$$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial x}(0;0)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{(e^h-h-1)}{h^2}-f(0;0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{h^k}{k!}-h-1}{h^2}-f(0;0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{h^k}{k!}}{h^2}-f(0;0)}{h}$$$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial x}(0;0)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{h^k}{k!}-h^2f(0;0)}{h^3}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\left(\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{6}+\sum\limits_{k=4}^\infty\frac{h^k}{k!}\right)-h^2f(0;0)}{h^3}$$$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial x}(0;0)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{h^2\cdot{\left(\frac12-f(0;0)\right)}+\frac{h^3}{6}+h^4\cdot\sum\limits_{k=4}^\infty\frac{h^{k-4}}{k!}}{h^3}$$

Damit der Grenzwert existiert, muss der \(h^2\)-Term verschwinden, d.h. \(\pink{f(0;0)=\frac12}\).

Den verbliebenen Bruch kürzen wir mit \(h^3\):$$\phantom{\frac{\partial f}{\partial x}(0;0)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{h^3}{6}+h^4\cdot\sum\limits_{k=4}^\infty\frac{h^{k-4}}{k!}}{h^3}=\lim\limits_{h\to0}\left(\frac{1}{6}+h\cdot\sum\limits_{k=4}^\infty\frac{h^{k-4}}{k!}\right)\pink{=\frac16}$$