Ist Matrix invertierbar mit t \in \mathbb{R}

Question

Aufgabe:

$$\text{Bestimmen Sie, für welche } t \in \mathbb{R} \text{ die Matrx invertierbar ist.}\\ A_t =  \begin{pmatrix} 2t & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 2t \\ 1 & 2 &1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll.

Ist es einfach so, dass ich 3 Fälle abdecken muss t > 0, t < 0 und t = 0?

Sprich das Inverse bilden.

Oder soll ich für alle 3 Fälle ein Gleichungssystem lösen, da A nur invertierbar ist, wenn das Gleichungssystem genau eine Lösung hat.

Oder bin ich mit meiner Vermutung mit den 3 Fällen komplett falsch.

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Aloha :)

Der Betrag der Determinante einer \(n\times n\)-Matrix entspricht dem \(n\)-dimensionalen Volumen, das durch die Spaltenvektoren aufgespannt wird. Wenn dieses Volumen \(0\) ist, wird der \(n\)-dimensionale Raum nicht vollständig aufgespannt. Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix ist das Resultat eine Linearkombination der Spaltenvektoren der Matrix. Wenn diese Spaltenvektoren den \(n\)-dimensionalen Raum aber nicht vollständig aufspannen. geht die Information über mindestens eine Dimension verloren, sodass die Abbildung nicht umgekehrt werden kann.

Langer Rede kurzer Sinn:

Eine \(n\times n\)-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich \(0\) ist.

$$|A_t|=\left|\begin{array}{rrrr}2t & 2 & 0 & 1\\1 & -1 & 0 & 2t\\1 & 2 & 1 & 3\\1 & -2 & 2 & -1\end{array}\right|=24t^2+10t+7=24\left(t+\frac{5}{24}\right)^2+\frac{143}{24}\ge\frac{143}{24}$$

Die Determinante ist für alle \(t\in\mathbb R\) von Null verschieden, daher ist die Matrix für alle \(t\in\mathbb R\) invertierbar.

Comments

Vielen vielen Dank! :)

Danke für diese ausführlichen Antworten jedes Mal!

Answer 2

Bestimme den Rang der Matrix.

Verwende den Zusammenhang zwischen Invertierbarkeit und Rang der Matrix.

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Okey, Dankeschön :)

Answer 3

Mit den drei Fällen liegst Du falsch. Es treten sicher Fälle auf, für die die Matrix invertierbar ist, und für die sie das nicht ist. Welche Fälle das sind, kann man der Matrix aber so nicht ansehen.

LGS sind auch nicht zu lösen und schon gar nicht eine Inverse zu berechnen.

Das einfachste ist, die Determinante zu berechnen, denn es gilt ja \(\det A_t=0\iff A_t\) invertierbar. Wie man \(\det A_t\) berechnet, hängt davon ab, welche Verfahren in der Vorlesung dazu behandelt wurden.

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Alles klar, vielen Dank :)