Erwartungswert, Varianz und Gesamtverteilung

Question

Hallo! Kann mir bitte bei dieser Aufagabe jemand helfen? Danke im Vorfeld!

Ein Unternehmen stellt Kugelschreiber her, die jeweils aus einer Schreibmine, einer Metallfeder und einer Kunststoffhülle bestehen. Das Gewicht einer Schreibmine hat den Erwartungswert 2,5 g und die Streuung 0,4 g, das Gewicht einer Metallfeder den Erwartungswert 0,5 g und die Streuung 0,2 g, das Gewicht einer Kunststoffhülle den Erwartungswert 12 g und die Streuung 0,4 g. Alle drei Gewichte sind voneinander unabhängig und normalverteilt.
a) Wie ist das Gesamtgewicht X eines Kugelschreibers verteilt? Geben Sie die Parameter dieser Verteilung explizit an.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das Gesamtgewicht eines Kugelschreibers zwischen 14 g und 16 g?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet eine Packung mit 70 solcher Kugelschreiber ein Gesamtgewicht von 1055 g?

Answer 1

Aloha :)

$$\text{Mine:}\quad\mu_M=2,5\,\mathrm g\quad;\quad\sigma_M=0,4\,\mathrm g$$$$\text{Feder:}\quad\mu_F=0,5\,\mathrm g\quad;\quad\sigma_F=0,2\,\mathrm g$$$$\text{Hülle:}\quad\mu_H=12,0\,\mathrm g\quad;\quad\sigma_H=0,4\,\mathrm g$$

zu a) Bei normalverteilten unabhängigen Zufallsgrößen addieren sich die Erwartungswerte und die Varaianzen. Das Gesamtgewicht \(X\) eines Kugelschreibers ist daher wieder normalverteilt mit:$$\mu_X=\mu_M+\mu_F+\mu_H=15\,\mathrm g\quad;\quad\sigma_X=\sqrt{\sigma_M^2+\sigma_F^2+\sigma_H^2}=0,6\mathrm g$$

zu b) Mit Hilfe der Standard-Normalverteilung \(\phi(x)\) gilt:$$P(14<X<16)=P(X<16)-P(X\le14)=\phi\left(\frac{16-\mu_X}{\sigma_X}\right)-\phi\left(\frac{14-\mu_X}{\sigma_X}\right)$$$$\phantom{P(14<X<16)}=\phi(5/3)-\phi(-5/3)\approx0,9522-0,0478=0,9044=90,44\%$$

zu c) Das Gewicht \(G\) von 70 solcher Kugelschreiber ist wieder normalverteilt mit:$$\mu_G=70\cdot\mu_X=1050\,\mathrm g\quad;\quad\sigma_G=\sqrt{70\cdot\sigma_X^2}\approx5,0200\,\mathrm g$$Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt daher:$$P(G>1055)=1-p(G\le1055)=1-\phi\left(\frac{1055-\mu_G}{\sigma_G}\right)\approx1-\phi(0,9960)$$$$\phantom{(G>1055)}\approx1-0,8404=0,1596\approx15,96\%$$