Konvergenz mit Quotientenkriterium beweisen

Question

Aufgabe:

Man untersuche die Konvergenz folgender Reihen mit Hilfe des Quotientenkriterium:

\( \frac{1}{2} \) + \( \frac{3!}{2*4} \) +\( \frac{5!}{2*4*6} \) + \( \frac{7!}{2*4*6*8} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Summe so \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(2*n-1)!}{2^n * n!}} \)   geschrieben und das Quotientenkriterium angewendet, bei meinen Umformungen kommt aber am Ende nur \( \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \) heraus,jetzt komme ich nicht weiter.....

Answer 1

Vorab eine Kleinigkeit: die Reihe sollte bei n = 1 beginnen, nicht bei n = 0 (sonst hast du da was mit (-1)! stehen).

Hast du beim Einsetzen von (n+1) in die Formel vielleicht einen kleinen Fehler gemacht? Es sollte \( a_{n+1} = \frac{(2 \cdot (n+1) - 1)!}{2^{n+1} \cdot (n+1)!} = \frac{(2n + 1)!}{2^{n+1} \cdot (n+1)!}\) sein. Wenn man stattdessen den Fehler macht \( a_{n+1} = \frac{(2n)!}{2^{n+1} \cdot (n+1)!} \) zu setzen, dann käme da tatsächlich dein Ergebnis raus.

Answer 2

Ich komm auf was anderes. Und beachte: Wenn \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1\) ist für schließlich alle \(n\), divergiert die Reihe.