Aufgabe: Ich sollte folgendes beweisen:
Satz: Wenn die Reihe Σ a(n) und Σ b(n) absolut konvergiert, so konvergiert auch Σ a(n)*b(n), absolut.
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz:
Σ a(n) ist eine absolut konvergente Reihe, d.h. Σ |a(n)| konvergiert auch.
Analog mit der anderen Reihe…
Sei c(n) = a(n)b(n), so ist Σ c(n) = Σ a(n)b(n) = Σ a(n)Σ b(n), das konvergiert, da Σ a(n) und Σ b(n) beide konvergieren, wodurch auch dessen Produkt konvergiert.
Behauptung: Das Produkt konvergiert auch absolut, d.h. auch Σ |a(n)b(n)| = Σ |a(n) Σ |b(n)| konvergiert .
Da in dem Fall ja Σa(n) und Σ b(n) vorausgesetzt absolut konvergieren & damit
Σ |a(n) & Σ |b(n)| konvergente Reihen sind, ist auch dessen Produkt wieder konvergent.
Also folgt: Wenn Σa(n) & Σ b(n) absolut konvergieren und somit Σ|a(n)| und Σ|b(n)| konvergieren, so konvergiert auch dessen Produkt Σ|a(n)| Σ|b(n)|, was dann impliziert das auch das Produkt Σa(n) Σb(n) absolut konvergiert.
Meine Frage: Ist das so richtig?
