Konvergenz von Integralen und Reihen

Question

Hallo

a) Löse das unbedtimmte Integral

Text erkannt:

\( \int \frac{1}{\arctan (x)\left(1+x^{2}\right)} d x \)

b) Enscheide ob das unbestimmte Integral konvergiert

Text erkannt:

\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{\arctan (x)\left(1+x^{2}\right)} d x \)

c) Entscheide ob die Reihe konvergiert.

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\arctan (k)\left(1+k^{2}\right)} \)

Kann mir jemand helfen?

Comments

Natürlich kann man helfen - wenn man weiß wo Dein Problem ist. Sonst geht die Hilfe am Ziel vorbei. Also: Was hast Du versucht, was hast Du gerechnet (bitte beifügen), welche Begriffe sind evtl unklar, was genau(!) ist das Problem?

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Wahrscheinlich wusste sie nicht wie man das von Anfang angeht. Das wundert mich aber auch, da es ja eigentlich sehr grundlegend ist.

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nudger, mir war die Aufgabe von Anfang an nicht klar

Txman, a) habe ich jetzt verstanden. Aber was hat die Konvergenz bei b) jetzt mit diesen Grenzwerten auf sich? c) ist mir auch nicht ganz klar.

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"ist mir nicht klar" liefert keinen Ansatz für Hilfe. Es könnte sein, dass Du nicht weißt, was ein Integral ist, was ein uneigentliches Integral ist, was Konvergenz ist usw.. Der Anfang ist stets unklare Begriffe nachzuschlagen. Wenn Du formulierst, was genau(!) Dir nicht klar ist, hilft das uns beim Helfen, aber vor allem auch Dir selbst.

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@TanjaTahl

Bei b) habe ich einfach die Definition der Konvergenz von uneigentlichen Integralen wiedergegeben. Die sollte Dir eigentlich schon bereits klar sein!

Was ist dir bei c) nicht klar?

Wie @nudger schon bereits sagte, können wir dir hier nicht helfen, wenn Du uns nicht genau sagst, wo es denn hakt. Übrigens solltest Du zu aller erst auch vor dem Bearbeiten solcher Aufgaben, die grundlegenden Definitionen verstanden haben. Das du bei b) meinen Kommentar nicht verstehst zeigt, das Du die Definition nicht verstanden hast.

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Okay ich glaube b) verstehe ich jetzt. Aber warum sollte ich denn bei c) arctan(k) abschätzen?

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Siehst du jetzt den Zusammenhang von b) und c)?

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Ne das ist mir leider unklar :(

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Der Zusammenhang ist eigentlich grundlegend. Bist Du Dir sicher, das ihr da keinen Satz in der VL zu hattet?

Answer 1

Hallo Tanja,

hast Du es wieder mit den Integralen :D

Ich gebe dir mal ein paar Tipps:

a) Substituiere den Arcustangens. Dazu: Was ist die Ableitung vom Arcustangens?

b) Wenn du das unbestimmte Integral ausgerechnet hast, also die Stammfunktion F, dann existiert das unbestimmte Integral genau wenn die beiden Grenzwerte
lim (x—> 0) F(x) & lim (x—> inf) F(x), existieren.

c) Wie kann man denn den Arcustangens abschätzen? (Es ist eine beschränkte Funktion)

Comments

a) Dann müsste F(x) = ln|arctan(x)| die Stammfunktion sein

b) Da Lim F(x) = -unendlich ist für x gegen 0 (ds Lim arctan(x) = 0 für x gegen 0 und damit dann lim ln|arctan(x)| = ln(0) = -unendlich für x gegen 0 ist), existiert das uneigentliche Integral nicht und divergiert.

Ist a) und b) zumindest schon mal so richtig?

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a) fehlt noch die Integrationskonstante, da es ja eine allgemeine Stammfunktion ist. Sonst richtig. b) ist auch grundsätzlich richtig, jedoch ist die Schreibweise ln(0) = -inf mathematisch falsch (ln(0) ist nicht definiert, Du meinst damit den Grenzwert). Die Idee stimmt aber.

Für c) handelt es sich um eine konvergente Reihe. D.h. die Idee ist da eine konvergente Majorante zu finden. Demnach musst Du die Folge (arctan(k)) nach unten abschätzen, sodass der Bruch insgesamt grösser wird. Überleg Dir doch mal, was sind die Eigenschaften der Arcustangens-Folge?

(Abgesehen davon ist b) aber auch äquivalent zu c))

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Verstehe ich nicht :(

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Was ist denn min{artan(k) : k ∈ |N} ? Schaue dir doch mal den Graphen zum Arcustangens an und beachte dabei wie sich die Werte arctan(k) für die natürlichen Zahlen k verhalten. Eigentlich sollte man das schon grundlegend wissen…

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arctan(1) = π/4, da arctan(k) strengmonoton steigend ist? Gilt also dann arctan(k) > arctan(1) = π/4 ?

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Ja das stimmt. Nun kannst du das ganze abschätzen. Was wäre dann die Lösung?

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Für alle k:

1 / (arctan(k) (k^2 + 1)) < 1 / ((π/4)(k^2 + 1))

= (4/π) 1/(k^2 + 1) < 4 / (k^2 + 1) < 4 / k^2.

Da die Reihe zu 4 / k^2 konvergiert, folgt dann auch die Konvergenz von der Reihe aus der Aufgabe.

Richtig?

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Ja das passt.

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Dankeschön :)

Answer 2

Fange zuerst bei Aufgabe a) an und versuche es zu verstehen.

Zur Hilfe und Selbstkontrolle empfehle ich:

https://www.integralrechner.de/

Comments

Ja a) ist mir bereits klar. Da hat Txman mir den Tipp mit der Substitution schon gegeben. Aber danke

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Bei c) kannst du die Reihe mit dem Integral abschätzen.

Σ (k = 1 bis ∞) f(x) < f(1) + ∫ (1 bis ∞) f(x)

Da das Integral jetzt konvergiert, konvergiert auch die Reihe.

Es kann durchaus sein, dass das Integralkriterium

https://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium

für Reihen noch nicht behandelt worden ist und in der nächsten Stunde thematisiert wird, wenn alle die Aufgaben bearbeitet haben. Dann geht man evtl. davon aus, dass die Studenten sich einen Zusammenhang zwischen einer Reihe und einem Integral herleiten können. Mit beidem kann man ja Flächen berechnen. Begriffe wie Untersumme und Obersumme hatte man ja schon zur Abschätzung des Integrals benutzt. Diese Abschätzungen gehen natürlich auch umgekehrt. Man schätzt die Reihe mit dem Integral ab.

Answer 3

Zu c): Es sollte auffallen, dass im Integral und in der Summe derselbe Ausdruck steht. Welchen Zusammenhang gibt es denn zwischen einer Reihe und einem Integral? Stichwort: Integralkriterium.

Comments

Soetwas kenne ich leider nicht :(

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Steht dazu wirklich nichts in deinen Unterlagen? Die Art, wie die Aufgabe gestellt ist, legt das irgendwie nahe, dass es darum geht, diesen Zusammenhang zu erkennen und anzuwenden.

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Das wundert mich auch, das man das nicht kennt. In dem Falle braucht man ja aber den Integraltest hier ja auch nicht zwingend. Eine einfache Abschätzung, die ich oben versuche dem FS klarzumachen, tut es ja auch. Demnach kann es ja schon ungewöhnlicherweise möglich sein, das der Integraltest nicht behandelt wurde und hier eher die Abschätzung (also der Vergleichstest) verlangt wird.

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Wir hatten das tatsächlich nicht gemacht

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Wir hatten das tatsächlich nicht gemacht

Dann kommt es bestimmt in einer der nächsten Stunden. Dann gehen die Übungsleiter vielleicht davon aus, dass Ihr selber einen Zusammenhang zwischen der Reihe und dem Integral erkennt. Du weißt ja vermutlich das man mit beidem Flächen berechnen kann. Es liegt also nahe sich diese Flächen mal zu visualisieren. Zum Glück wurde dir das hier im Forum schon abgenommen.

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Das kann durchaus sein…