Wie lang ist BC in Abhängigkeit von r?

Question

|\( \overline{AM} \)|=r sei der Radius eines Halbkreises um M, auf dem auch B und C liegen. Der Winkel MAB habe die Größe α und der Winkel ABC habe die Größe 45°-α. Wie lang ist \( \overline{BC} \)  in Abhängigkeit von r?

Comments

Eine recht ähnliche Aufgabe kam gerade im Spiegel.

https://www.spiegel.de/karriere/raetsel-der-woche-welche-flaeche-hat-der-halbkreis-a-2be0b903-3408-4a66-953e-a1c607299af7

Da ich versuche immer die Rätsel der Woche im Spiegel zu lösen, war mir die Ähnlichkeit aufgefallen.

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Mathecoach: Wenn man sieht, dass 19°+26°=45°, wird die Lösung von Holger Dambecks Aufgabe sehr verkürzt. Meine zur Spiegel-Aufgabe ähnliche Aufgabe  lenkt den Blick auf eine elegantere Lösung (siehe Antwort von mathef).

Answer 1

Dreieck AMB ist gleichschenklig mit Basiswinkeln α. Also hat der Winkel CBM das

Maß 45°-α+α=45°. Und Dreieck MBC ist auch gleichschenklig mit Basiswinkeln von 45°, also ist es auch rechtwinklig mit Hypotenuse BC.

Schenkellänge r impliziert Basislänge \( \overline{BC} =r \cdot \sqrt{2}\)