Existiert das bestimmte Integral?

Question

Die Frage ist, ob dieses Integral konvergiert oder divergiert (also nicht konkret berechnen)

\( \int \limits_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} \)

Wie gehe ich da vor?

Comments

Welche Methoden/Sätze dazu waren in der Vorlesung dran?

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Das es divergiert, falls man eine divergente Minorante findet und konvergiert, falls man eine konvergente Majorante findet.

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Txman hat da irgendwas gemacht, aber ich verstehe nicht was das sein soll. Hättest du eine weitere Idee?

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Dann solltest Du Txman fragen (konkret!). Wenn Du weißt, was eine Majorante ist, ist die Antwort von Txman doch hilfreich.

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Hier noch eine andere Variante, die aber auch darauf basiert, dass \(x^4\leq x^3\) auf \([0,1]\) gilt:

$$\begin{array}{rcl}\int_0^1 \frac 1{\sqrt{1-x^4}}\, dx & = & \int_0^1 \frac {1-x^4 + x^4}{\sqrt{1-x^4}}\, dx \\ & = & \int_0^1 \sqrt{1-x^4}\, dx + \int_0^1 \frac {x^4}{\sqrt{1-x^4}}\, dx \\ & < & \int_0^1 \sqrt{1-x^4}\, dx + \int_0^1 \frac {x^3}{\sqrt{1-x^4}}\, dx \\ & < & \infty\end{array} $$

Answer 1

Hallo.

Ich gabe dir mal ein Tipp und den Rest solltest Du schaffen. Für alle x gilt die Abschätzung

1/sqrt(1-x^4) ≤ 1/sqrt(1-x^2).

Der Rest sollte klar sein.

Comments

Verstehe ich nicht, was das jetzt bringen soll :(

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Das ist eine konvergente Majorante.

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Ja aber wie zeigt man denn, das dann das Integral zu 1/wurzel(1-x^2) konvergiert? Das ist doch ein ähnliches Problem wie das zuvor. Das ist mir nicht ganz klar. Substitution bringt hier auch nichts.

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Das ist ein bekanntes Integral. Ansonsten substituiere mal \(u=\sin(x)\) und wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Du musst da nichts mehr zeigen. Das Integral solltest Du eigentlich kennen!

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Also ist das dann so richtig?

 ∫1/wurzel(1-x^4) dx <  ∫ 1/wurzel(1-x^2) dx = arcsin(x)+c

Und mit den Grenzen dan arcsin(1)-arcsin(0) = π/2 und da π/2 endlich ist, folgt auch das das Integral endlich ist, da π/2 ja grösser als dieses ist

=> konvergenz

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Ja aber mach das in Deinen Unterlagen am besten direkt mit den Grenzen und einer einzigen Kette, das du ganz am Anfang das ursprüngliche Integral hast und es somit bis zu dem Wert π/2 nach oben abschätzt.

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Danke euch beiden! :)

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1/sqrt(1-x^4) ≤ 1/sqrt(1-x^2)

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\le \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$