Verhältnis zwischen Brückenbögen, kickfreie Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Die obenstehende Abbildung stellt den Entwurf für eine Brücke dar. Deren achsensymmetrisches Profil soll modellhaft in einem entsprechend gewählten Koordinatensystem beschrieben werden. Die Funktion \( f \) mit \( f(x)=-\frac{1}{80} x^{2}+20, x \in \mathbb{R} \), beschreibt für \( -40 \leq x \leq 40 \) den unteren Brückenbogen. In den Punkten \( \mathrm{P}(-40 \mid 0) \) und \( Q(40 / 0) \) endet der untere Brückenbogen jeweils in einem Stützlager. Die Funktion \( \mathrm{g} \) mit \( g(x)=\frac{1}{312500} x^{4}-\frac{2}{125} x^{2}+25, x \in \mathbb{R} \), beschreibt für \( -50 \leq x \leq 50 \) den oberen Brückenbogen. Alle Koordinaten haben die Einheit Meter (m).

Die Graphen der Funktionen \( \mathrm{f} \) und \( \mathrm{g} \) sind hier dargestellt.

a) Der untere Brückenbogen ist maximal \( 20 \mathrm{~m} \) hoch.

Zeigen Sie, dass das Verhältnis der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens zu seiner Spannweite zwischen den Stützlagern kleiner als \( \frac{1}{3} \) ist.

b) Weisen Sie nach, dass die Steigung des oberen Brückenbogens an seiner steilsten Stelle den Wert \( 65 \% \) nicht überschreitet.

c) Bestimmen Sie eine lineare Funktion h, die knickfrei an der Stelle \( x=50 \) am oberen Brückenbogen anschließen kann

Answer 1

Zeigen Sie, dass das Verhältnis der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens zu seiner Spannweite zwischen den Stützlagern kleiner als \( \frac{1}{3} \) ist.

maximalen Höhe des unteren Brückenbogens = 20m

Spannweite 80m .     Verhältnis  \(  \frac{20}{80}= \frac{1}{4} \lt \frac{1}{3}  \).

b)  Weisen Sie nach, dass die Steigung des oberen Brückenbogens an seiner steilsten Stelle den Wert \( 65 \% \) nicht überschreitet.

Steigung des oberen Bogens wird gegeben durch g ' (x) .

\( g(x)=\frac{1}{312500} x^{4}-\frac{2}{125} x^{2}+25 \)

==>  \( g'(x) = \frac{1}{78125} x^{3}-\frac{4}{125} x^{2} \)

Für Max. von g ' (x) die 2. Abl. bilden

==>  \( g''(x) = \frac{1}{78125} x^{3}-\frac{4}{125} x^{2} \)

Also g ''(x)=0    <=>   \(  x=\pm \frac{50}{\sqrt{3}}  \) ≈±28,9

Die max. Steigung ist offenbar bei dem neg. Wert und beträgt

f ' (28,9) ≈0,615 = 61,5%

Die Randwerte haben offenbar kleinere Steigungen.

c) Bestimmen Sie eine lineare Funktion h, die knickfrei an der Stelle \( x=50 \) am oberen Brückenbogen anschließen kann.

Bestimme dazu f ' (50) . Das gibt die Steigung der lin. Fkt.

Und mit f(50) hast du auch den Funktionswert der lin. Fkt. an

der Stelle 50 und kannst damit die Geradengleichung aufstellen.

Answer 2

a) Der untere Brückenbogen ist maximal \( 20 \mathrm{~m} \) hoch.Zeigen Sie, dass das Verhältnis der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens zu seiner Spannweite zwischen den Stützlagern kleiner als \( \frac{1}{3} \) ist.

Spannweite des unteren Brückenbogens =80, weil da steht: In den Punkten \( \mathrm{P}(-40 \mid 0) \) und \( Q(40 / 0) \) endet der untere Brückenbogen jeweils in einem Stützlager.

\( \frac{20}{80} \)<\( \frac{1}{3} \).

Answer 3

c) knickfrei an der Stelle x heißt:

a) f(x) = g(x)

b) f '(x) = g '(x)