Da gibt es nicht viel zu zeigen, denn die Verkettung von \(C^1\)-Funktionen ist wieder \(C^1\).
Du musst also nur feststellen, ob dies so ist.
Dazu betrachtest du die Funktionen einzeln:
$$f:\; \begin{pmatrix} t_1\\t_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \sin t_1\\t_1 t_2^3\\t_2^4+1 \end{pmatrix}$$
$$g:\; \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x|z|\\y-z \end{pmatrix}$$
\(f\) hat offenbar nur stetig differenzierbare Komponenten.
Bei \(g\) ist nur \(|z|\) scheinbar ein Problem. Aber glücklicherweise gilt
$$t_2^4+1 > 0 \Rightarrow f\left(\mathbb R^2\right)\subset \mathbb R^2\times (0,\infty)$$
D.h., auf \(f\left(\mathbb R^2\right)\) gilt \(|z| = z\):
$$\left. g\right|_{f\left(\mathbb R^2\right)}:\; \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x{\color{blue}{z}}\\y-z \end{pmatrix}$$
Damit ist \(g\) eingeschränkt auf das Bild von \(f\) auch \(C^1\) und alles ist schick.
Nachtrag:
Du kannst es dir natürlich auch ganz leicht machen, und einfach die verkettete Funktion anschauen und feststellen, dass \(|t_2^4+1| = t_2^4 + 1\) gilt. Damit bestehen die Komponenten der verketteten Funktion nur aus \(C^1\)-Funktionen und ist damit selbst \(C^1\).
