Stetigkeit einer Funktion mehrerer Veränderlicher

Question

Ich hänge nach wie vor an dem Zeigen oder Widerlegen von Funktionen mehrerer Veränderlicher.

Sei nun:

\( \begin{aligned} f(x, y) &=\frac{x^{2}+y^{2}}{y} & \text { für }(x, y) & \neq(0,0) \\ &=0 & & \text { für }(x, y)=&(0,0) \end{aligned} \)

Wenn ich nun einfach mal (0,0) einsetzte kommt klar : 0/0 heraus.

1)Also Prüfe ich auf lim (0,1/n) mit n->∞ für f. Heraus kommt 0.

2) Prüfe ich lim(1/n,0) mit n-> ∞ für f ist das Ergebnis nicht definiert.

3) Nutze ich ein vereinfachungsverfahren mit:

\( |f(x, y)-f(0,0)|=\left|\frac{x^{2}+y^{2}}{y}-0\right|=\frac{x^{2}+y^{2}}{|y|} \leq \frac{y^{2}}{|y|}=y \)

gibt der Limes für x und y -> 0 hier auch 0.

4) Mit x= r cos   und y = r sin folgt.

\( \frac{r^{2} \sin ^{2}+r^{2} \cos ^{2}}{r \sin }=\frac{r^{2}\left(\sin ^{2}+\cos ^{2}\right)}{r \sin }=\frac{r\left(\sin ^{2}+\cos ^{2}\right)}{\sin } \)

für lim r -> 0 auch 0.

Jetzt weiß ich aus der Musterlösung dass man "einfach" durch einsetzen von (1/n^2, 1/n^4) sieht, dass die Funktion im Punkt (0,0) nicht stetig ist.

Fast alle Verfahren sagen jedoch das Gegenteil.

Kann man sagen, dass sobald eines der Verfahren NICHT funktioniert die Funktion nicht stetig ist bzw. man nach einem Gegenbeispiel suchen sollte?

Oder wie kann ich so etwas sonst zeigen.

Wie kann man allgemein Zeigen, dass eine Funktion mehrerer Veränderlicher stetig in einem Punkt ist?

Comments

Jetzt weiß ich aus der Musterlösung dass man "einfach" durch einsetzen von (1/n², 1/n⁴) sieht, dass die Funktion im Punkt (0,0) nicht stetig ist.

Könntest du das mal aus der Lösung aufschreiben ? Das hab ich irgendwie nicht kapiert.

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Bestimme den Grenzwert von f(1/n² , 1/n^4) und du wirst feststellen, dass das Ergebnis nicht f(0,0) ist.

Der Fehler bei der Abschätzung: Da wurde x²≤0 benutzt.

Der Fehler bei den Polarkoordinaten: Es muss nicht r/sin gegen Null gehen, da auch der Sinus gegen Null gehen kann.

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Die Funktion kann in diesem Punkt nicht stetig sein. Sie ist unbeschränkt in der Nähe des Ursprungs. Genauer gilt \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=\infty . \) Beispiel: \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n^{4}}\right)=\infty \)

Das ist die Lösung.

Ich frage mich, woran ich so etwas allgemein sehen kann. Es kann ja nicht der Sinn sein, einfach etliche unterschiedliche auf X₀ konvergierende Folgen zu prüfen. Angenommen ich habe eine stetig-fortsetzbare Funktion, dann  muss ich das doch auch entsprechend beweisen können.

Die Definition meines Skriptes lautet:

Definition 3.8.3. Es seien \( V, W \) zwei normierte \( \mathbb{R-Vektorräume, } D \subseteq V \text { und } x_{0} \in D . \) Eine Funktion \( f: D \rightarrow W \) heißt stetig in \( x_{0}, \) wenn für jede Folge \( \left(a_{n}\right) \) in \( D, \) die gegen \( x_{0} \) konvergiert, auch die Folge \( \left(f\left(a_{n}\right)\right) \) konvergiert und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=f\left(x_{0}\right) \) gilt.
Weiter heißt \( f \) stetig auf \( D, \) wenn \( f \) in jedem Punkt \( x_{0} \in D \) stetig ist.

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Danke Ché.

Hab das jetzt verstanden was da gemeint worden ist. man sollte die beiden Sachen einfach nur einsetzen.

Wir könnten die Funktion ja auch anders schreiben:

f(x, y) = (x^2 + y^2)/y = x^2/y + y^2/y = x^2/y + y

Der zweite Summand macht sicher keine Probleme. Der geht einfach gegen Null wenn y gegen Null geht. Beim ersten Summanden haben wir ein Problem wenn y schneller gegen Null geht als x^2. Dann strebt der Term gegen unendlich.

Wie Ché richtig bemerkt hat, hat man euch da mit leicht fehlerhaften Beweisen aufs Glatteis führen wollen. Studenten und Schüler neigen oft dazu erstmal alles zu Glauben was von einem Professor kommt, ohne es zu hinterfragen. So habe auch ich die Beweise erstmal als gültig hingenommen. Das das nicht so ist hat Ché ja erklärt.

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Und auch die Behauptung aus der Musterlösung (?), dass f(x) für x gegen Null gegen Unendlich gehe, ist Unsinn – selbst wenn x aus ℝ² sein soll.

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Ok vielen dank für eure Antworten.

Es verbleibt mir also nur, 

1) x durch 0 und y durch eine 0-Folge zu ersetzen. Und umgekehrt. Klappt das nicht ist es schon einmal sehr gut möglich dass die Stetigkeit nicht sein kann.

2) die Abschätzung mit |f(x,y) - f(x₀₁,x₀₂)| zu machen.
Sollte diese fehlschlagen, ist es sehr wahrscheinlich, dass die Funktion in x₀ nicht stetig ist.

3 a) Klappen 1&2 : kann ich sagen, dass f(x,y) stetig ist, da ich durch die Abschätzung ja eine vereinfachte, für alle 0-Folgen, gültige Form habe

3 b) Misslingen 1&2 : sollte ich durch unterschiedlich schnell nach 0 konvergierende Folgen für x₀₁,x₀₂ einen Widerspruch zu finden.

 

Würdet ihr dem zustimmen?

 

PS:

Ich habe auf : https://www.mathelounge.de/41173/funktionen-veranderlicher-stetigkeit-differenzierbarkeit
eine Ähnliche Frage, die ich damit im Teil a) einmal via Kommentar versuche zu bearbeiten.

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Also zur Musterlösung.

Das ist ein Screenshot der Lösung. Was genau ist daran nun falsch?

Answer 1

Dort wird allgemein gesagt wenn x gegen 0 geht dann geht f(x) gegen unendlich. Es gilt jedoch

lim _(n→∞) f(1/n, 1/n) = 0

Also für dieses x gegen 0 ist der Grenzwert schon 0. Das gilt aber nicht immer.

 

Man könnte doch in solchen Fällen für 

(x, y)→(0, 0) immer auch nehmen (x, y) = (1/m, 1/n) für (m, n)→(∞, ∞)

Zumindest wär das ratsam, wenn ein Beweis dadurch einfacher wird.