Berechnen Sie den Abstand d zwischen den beiden windschiefen Geraden.mit anderen Punkten.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sind die Geraden:
\( \begin{array}{l} g_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)+\lambda_{1}\left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -2 \end{array}\right), \quad \lambda_{1} \in \mathbb{R}, \\ g_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ -4 \\ -4 \end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad \lambda_{2} \in \mathbb{R} . \end{array} \)

Berechnen Sie den Abstand \( d \) zwischen den beiden windschiefen Geraden.
\( d=3.26748 \)

Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert:
\( 3.26748 \)
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Problem/Ansatz: stimmt meine Lösung oder habe ich falsch gerechnet?

Comments

Wo lag mein Fehler?

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Wo lag mein Fehler?

Ohne Rechenweg kann niemand den Ursprung des Fehlers finden. Mit

\(\displaystyle \lambda_1 = -\frac{8}{7} \; \land \; \lambda_2 = -\frac{1}{14} \)

kommt man der Sache und die Punkte auf den Geraden einander näher.

Answer 1

Du hast falsch gerechnet.

Das korrekte Ergebnis ist \(\frac{11}{\sqrt{14}}\approx 2.93987\)

So etwas kann man zum Beispiel mit WolframAlpha schnell überprüfen:

Berechnung der Länge des allgemeinen Distanz-Vektors (Bis "Vektor length" scrollen)

Auf diesen Ausdruck klicken und dann "minimize" davorschreiben.

Minimieren der Länge des Distanz-Vektors

Answer 2

Aloha :)

$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}\quad;\quad h\colon\vec x=\begin{pmatrix}-3\\-4\\-4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}$$

Schritt 1: Berechne einen Vektor, der auf beiden Geraden senkrecht steht:$$\vec n=\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}$$

Schritt 2: Projeziere einen beliebigen Vektor von einer Geraden zur anderen auf \(\vec n\).

Wir wählen der Einfachheit halber den Verbindungsvektor der beiden Ankerpunkte:$$\vec v=\begin{pmatrix}-2\\1\\-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-4\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5\\0\end{pmatrix}$$Die Projektion von \(\vec v\) auf \(\vec n\) ist der gesuchte Abstand \(d\):$$d=\left|\vec v\cdot\vec n^0\right|=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{\|\vec n\|}=\frac{3\cdot1+6\cdot5}{3\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{11}{\sqrt{14}}$$