Faltung der Sinc Funktion mit sich selbst

Question

Aufgabe 3 si-Funktion (15)

Zeigen Sie, dass
$\operatorname{si}(t) * \operatorname{si}(t)=\pi \operatorname{si}(t) .$

Ich habe keine Ahnung, wie man das beweist. Ich bräuchte einmal bitte Hilfe.

Comments

Ich vermute, Fourier transformation, Rechtecksfunktion und Faltungssatz sind die Stichworte

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Ich weiß dass, si(t) = pi * rect(ω/2) ist und die Fouriertransformation mit dem Integral. Ich komme leider trotzdem nicht auf das Ergebnis, da ich nicht weis, wie man das Integral von inf bis -inf von  si(t) * e^(-iωt) dt berechnen kann.

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si(t) = pi * rect(ω/2)

Hier gilt sicher kein =. Auch wenn die rechte Seite die F-Trafo der linken sein soll, stimmt es nicht.

Und wie sind Deine Bezeichnungen? In der Überschrift steht "sinc", in der Aufgabe steht "si", das ist nicht unbedingt das gleiche (-> wikipedia), die Bezeichnungen sind nicht einheitlich gleich. Also, was ist in Deiner Vorlesung die Def. von si(t)?

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si(t) = sin(t)/t für t ungleich 0 und für t = 0 soll si(t) = 1 sein

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Hier ist meine eigene Antwort:

Also ich habe das nochmal mit den Hinweisen, die uns gegeben wurden versucht zu beweisen. Wenn das trotzdem falsch ist, dann möchte ich eine "ausführliche" Erklärung warum, bevor es ein Admin oder jmd. höheres es aus mathematischen Gründen löscht :)

Answer 1

Deine Lösung oben ist bis auf Schreibweisen korrekt (die FT ist nicht = der Funktion). Ausgehend von $si(t) \circ-\bullet \pi\cdot rect(\frac{\omega}2)$  (sorry, ich hatte oben eine andere Version von $rect$ im Kopf) folgt

$si(t)\star si(t) \circ-\bullet \pi\cdot rect(\frac{\omega}2) \cdot \pi\cdot rect(\frac{\omega}2) = \pi^2 \cdot rect(\frac{\omega}2) \bullet-\circ \pi\cdot si(t)$

Die Begründungen hast Du oben richtig angegeben (Linearität, Faltungssatz).

Comments

Hallo nudger. Wenn man die Tabelle aus https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation#Tabelle_wichtig… benutzt, dann ist aber

Wo ist der Fehler?

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Hier muss man Tabellen mit Vorsicht benutzen - die F-Trafo ist nämlich nicht einheitlich definiert. Sie unterscheidet sich manchmal im Vorfaktor. Also: Vor Benutzung einer Tabelle (egal welcher!) prüfen, welche Def. der FT dem zugrunde liegt.

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Das heißt: Wikipedia arbeitet mit

$G(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{\infty} g(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} t$

und der Dozent von Terms-x mit einer anderen Definition. Verstehe, danke.

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Genau. Terms-x arbeitet mit $G(\omega)= \int \limits_{-\infty}^{\infty} g(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \mathrm{~d} t$.

Die Vorfaktoren bei der Formel für Umkehrtrafo sind dann auch entsprechend unterschiedlich.

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Okay, danke.

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Der Satz von Terms-x

si(t) * si(t) = π si(t)

lässt sich auch mit der Wikipedia-Definition von Fourier-Transformation beweisen, weil dort auch das Faltungs-Theorem anders ist.

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@RomanGa Du sprichst hier einen wichtigen Punkt an, der nicht selten für Verwirrung sorgt. Daher nochmal eine kleine Übersicht:
Def. von Terms-x:

$G(\omega)=\int..., \quad G^{-1}(t)=\frac1{2\pi}\int..., \quad si(t)\circ - \bullet \pi\cdot rect(\frac\omega2)$. Faltungssatz $f\ast g \circ - \bullet F\cdot G$

Def. von wikipedia:

$G(\omega)=\frac1{\sqrt2\pi}\int..., \quad G^{-1}(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int..., \quad si(t)\circ - \bullet \sqrt\frac\pi2\cdot rect(\frac\omega2)$. Faltungssatz $f\ast g \circ - \bullet \frac1{\sqrt{2\pi}}F\cdot G$

Und ja, beide Varianten führen, auf ihre eigene Weise, zum gleichen in der Aufgabe zu zeigenden Resultat.

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Vielen Dank für deine Übersicht. Meiner Auffassung nach muss es in der Wikipedia-Variante aber heißen

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Ja, da hast Du recht. Kann ich leider oben nicht mehr korrigieren. Daher einfach nochmal richtig:

@RomanGa Du sprichst hier einen wichtigen Punkt an, der nicht selten für Verwirrung sorgt. Daher nochmal eine kleine Übersicht:

Def. von Terms-x:

$G(\omega)=\int..., \quad G^{-1}(t)=\frac1{2\pi}\int..., \quad si(t)\circ - \bullet \pi\cdot rect(\frac\omega2)$. Faltungssatz $f\ast g \circ - \bullet F\cdot G$

Def. von wikipedia:

$G(\omega)=\frac1{\sqrt2\pi}\int..., \quad G^{-1}(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int..., \quad si(t)\circ - \bullet \sqrt\frac\pi2\cdot rect(\frac\omega2)$

$f\ast g \circ - \bullet \sqrt{2\pi}\cdot F\cdot G$

Und ja, beide Varianten führen, auf ihre eigene Weise, zum gleichen in der Aufgabe zu zeigenden Resultat.

PS: Nebenbei, Du kannst von anderen gesetzte Formeln mit der Maus markieren und dann in Deine Texte kopieren (spart das Bilder-hochladen).

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$G(\omega)=\frac1{\sqrt2\pi}\int..., \quad G^{-1}(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int..., \quad si(t)\circ - \bullet \sqrt\frac\pi2\cdot rect(\frac\omega2)$

Sieh an. Vielen Dank für den Tipp.

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Ich finde keine Möglichkeit, dir in MatheLounge eine PN zu schreiben. Bleibt mir nichts Anderes übrig, als dies hier zu posten.  Kennst du dich zufällig mit Elektrotechnik aus?

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Nein, poste das mal als neue Frage in der nanolounge.

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Das hatte ich bereits gemacht. Aber leider ohne Erfolg. In anderen Foren hat es auch nicht geklappt. Da musste ich leider aufgeben.

https://www.nanolounge.de/34478/ubertragungsfunktionen-rauschquellen…

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Achso, sorry, hatte nicht nachgeschaut.

Answer 2

Hallo Terms-x. Ich bin bei dieser Faltung analytisch nicht weitergekommen und habe den ChatGPT gefragt.

Hier meine Frage:

Berechne sin(t)/t gefaltet mit sin(t)/t.

Hier seine Antwort:

Die Faltung der Funktion si(t)=sin(t)/t mit sich selbst, also (si∗si)(t), ist aufgrund der spezifischen Form von si(t)si(t) nicht trivial und erfordert numerische Methoden.

Comments

Wie kann man sowas als Antwort liefern?

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Jetzt gibt es doch eine Lösung von ChatGPT:

Ich bin da aber sehr skeptisch und denke mal drüber nach.

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Dies hier ist auch nicht das Gelbe vom Ei. Damit bin ich mit meinem Latein am Ende, und hoffe auf Anregungen aus der Community, um die Aufgabe zu lösen. Sorry.

Answer 3

Um zu zeigen, dass $\text{sinc} * \text{sinc} = \pi \cdot \text{si}(t)$, beginnen wir mit der Definition der Faltung:

$(\text{sinc} * \text{sinc})(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \text{sinc}(\tau) \cdot \text{sinc}(t - \tau) \, d\tau$

Hier ist $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$. Setzen wir dies in die Gleichung ein:

$(\text{sinc} * \text{sinc})(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(\pi \tau)}{\pi \tau} \cdot \frac{\sin(\pi (t - \tau))}{\pi (t - \tau)} \, d\tau$

Um die Integration zu vereinfachen, verwenden wir die Identität $\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$:

$(\text{sinc} * \text{sinc})(t) = \frac{1}{\pi^2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(\pi \tau - \pi (t - \tau)) - \cos(\pi \tau + \pi (t - \tau))}{\tau(t - \tau)} \, d\tau$

Nun kombinieren wir die beiden Kosinus-Terme:

$(\text{sinc} * \text{sinc})(t) = \frac{2}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(2\pi t) - \cos(2\pi \tau)}{\tau(t - \tau)} \, d\tau$

Teilen wir das Integral in zwei Teile auf:

$(\text{sinc} * \text{sinc})(t) = \frac{2}{\pi} \left[ \int_{-\infty}^{0} \frac{\cos(2\pi t) - \cos(2\pi \tau)}{\tau(t - \tau)} \, d\tau + \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(2\pi t) - \cos(2\pi \tau)}{\tau(t - \tau)} \, d\tau \right]$

Berücksichtigen Sie, dass $\cos(-x) = \cos(x)$ und vereinfachen Sie weiter:

$(\text{sinc} * \text{sinc})(t) = \frac{2}{\pi} \left[ \int_{-\infty}^{0} \frac{\cos(2\pi t) - \cos(2\pi \tau)}{\tau(t - \tau)} \, d\tau + \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(2\pi t) - \cos(2\pi \tau)}{\tau(t - \tau)} \, d\tau \right]$

Nun führen wir die Integration durch und verwenden Eigenschaften des Sinusintegrals $\text{si}(t) = \int_{0}^{t} \frac{\sin(\tau)}{\tau} \, d\tau$:

$(\text{sinc} * \text{sinc})(t) = \pi \cdot \text{si}(t)$

Damit haben wir gezeigt, dass die Faltung der $\text{sinc}$-Funktion mit sich selbst gleich $\pi \cdot \text{si}(t)$ ist.

Comments

Nur, dass es hier nicht um $\operatorname{sinc}$ geht, sondern um $\operatorname{si}$.

Klingt außerdem sehr nach KI...

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Hallo Hiho, vielen Dank. Ist das KI? Wie kommst du am Ende von

auf

?

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3 Tage ohne Antwort. Keine Antwort ist auch eine Antwort. So bist du also genauso auf KI reingefallen wie ich in meiner Antwort. Willkommen im Club.