Schnittmenge oder keine?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

In einem grünen Strumpf befinden sich 5 rote und 3 blaue Kugeln. In einem blauen Strumpf sind 5 rote und 3 grüne Kugeln. Es wird aus jedem Strumpf eine Kugel gezogen.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gezogen wird.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus dem grünen Strumpf eine blaue oder aus dem blauen Strumpf eine grüne Kugel gezogen wird?

b) Lösung laut Buch ist: 3/8 + 3/8 - 3/8 * 3/8 = 39/64

Problem/Ansatz:

Warum ist die Schnittmenge 3/8 * 3/8 ?

Ich bin beim Rechnen so weit gekommen:

Und die Schnittmenge müsste doch 0 sein, da keine blaue Kugeln im blauen Strumpf sind und keine grünen Kugeln im grünen Strumpf?

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Anmerkung zur Begrifflichkeit:

Eine Schnittmenge ist (in solchem Zusammenhang) nie eine Zahl, sondern eine Menge von (Elementar-) Ereignissen. Die Zahlenwerte, von denen du sprichst, sind nicht Mengen, sondern die Wahrscheinlichkeitswerte, die gewissen Ereignissen zugeordnet werden.

Answer 1

Ich versuche auch noch einmal, Licht ins Dunkle zu bringen:

Wir betrachten Ereignisse (x,y), wobei x für das Ergebnis vom Zug aus dem grünen Strumpf steht und y für das Eregebnis vom Zug aus dem blauen Strumpf. Es gibt folgende Ereignisse mit Wahrscheinlichkeiten:

$$P((r,r)=25/64, \quad P((b,r))=15/64, \quad P((r,g))=15/64, \quad ((b,g)=9/64$$

Das gefragte Ereignis besteht aus (b,r),(b,g),(r,g) mit der Wahrscheinlichkeit 39/64 - diese Ereignisse sind diskjunkt, daher addieren sich die Wahrscheinlichkeiten

Die Lösung im Buch beschreib das Ereignis so: (b,.) (blaue Kugel aus dem grünen Strumpf, egal was aus dem blauen gezogen wird) oder (.,g) (analog). Der Durchschnit von beiden Ereignissen ist (b,g), daher

$$3/8+3/8-9/64$$

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danke! Nur etwas was ich nicht verstehe warum werden die Ereignisse (b,r),(b,g),(r,g) 

nicht auch mit Reihenfolge betrachtet? Also auch noch dazu (r,b), (g,b), (g,r)?

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Weil die Fragestellung Ziehen aus den verschiedenen Strümpfen unterscheidet. Mit der angegebenen Notierung gibt es (r,b) nicht, weil in dem blauen Strumpf keine blauen Kugeln sind.

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Vielen Dank! Ich habe das denke ich verstanden.

Ich bitte um eine letzte Frage noch, falls ich es mit dem Baumdiagramm gemacht hätte.

Es sieht so aus:

Also es kommt das gleiche raus.

ABER was ich nicht ganz verstehe und das habe ich im Baumdiagramm dazu geschrieben,

warum sind es 5/8 rote weil wenn man beide Strümpfe nimmt sind es insgesamt 10/16 rote.

Aber es wären auch 3blaue von 16 Kugeln und 3/16 bei den grünen Kugeln.

Warum ist das falsch? Ich habe bei ähnlichen Aufgaben bei den Baumdiagrammen daher versagt

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Das passt nicht zum beschriebenen Vorgehen: Es wird jeweils nur aus einem Strumpf gezogen.

Answer 2

Abgezogen werden muss es zwecks Vermeidung der Doppelzählung der rot markierten Wahrscheinlichkeit:

	rot 5/8	blau 3/8	Total
rot 5/8	25/64	15/64	40/64
grün 3/8	15/64	9/64	24/64 = 3/8
Total	40/64	24/64 = 3/8	64/64

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Vielen Dank aber ich habe ein paar Verständnis Fragen:

Und zwar habe ich jetzt berechnet:

br + rb + gr + rg

ist es richtig br und rb zu berechnen oder spielt die Reihenfolge keine Rolle?

Also ich verstehe nicht ganz, welche Wahrscheinlichkeiten der 4felder Tafel entnommen werden? Und ich erkenne nicht wo die Doppelzählung ist also weshalb bg oder gb eine Doppelzählung ist?

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Die Doppelzählung ist dort, wo rot.

Es ist eine Doppelzählung, weil b im rb-Strump und g im rg-Strumpf dasselbe ist wie g im rg-Strumpf und b im rb-Strumpf.

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Kann ich das so berechnen:

br + rb + gr + rg - bg - gb:

15/64 + 15/64 + 15/64 + 15/64 - 9/64 - 9/64

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Das sieht unnötig kompliziert aus. Und es gibt nicht das Ergebnis 39/64.

Ich würde rechnen g + b - 1*bg = 3/8 + 3/8 - 9/64

Answer 3

Es dürfen keine 2 rote gezogen werden, daher muss man das abziehen.

P(r r ) = 3/8*3/8

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Und nur fürs Verständnis wären das alle Ereignisse, die ich brauche?:

br , rb , bb , gr, rg, gg

ich wollte mal alle Wahrscheinlichkeiten aufschreiben die ich brauche.

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Es gibt kein bb weil es nicht in jedem Strumpf ein b hat.

Dasselbe für gg.

Die Begründung in obiger Antwort würde ich mit gebotener Vorsicht entgegennehmen.

Answer 4

P(Mind. eine Kugel ist rot) 

= P(1. Kugel ist rot) + P(2. Kugel ist rot) - P(beide Kugeln sind rot)

= P(rx) + P(xr) - P(rr)

= 5/8 + 5/8 - 5/8·5/8 = 55/64

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Das wurde hier doch gar nicht gefragt!

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Die Frage war

Und die Schnittmenge müsste doch 0 sein, da keine blaue Kugeln im blauen Strumpf sind und keine grünen Kugeln im grünen Strumpf?

Ich habe versucht zu verdeutlichen, dass die Schnittmenge der Ereignisse "die 1. Kugel ist rot" und "die 2. Kugel ist rot" das Ereignis "beide Kugeln sind rot" sind. Und dass die Wahrscheinlichkeit eben nicht 0 ist.

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Darum geht es in Teil b) aber auch nicht.

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Dir ist offensichtlich nicht klar das Teil b) genau wie Teil a) gerechnet werden kann.

Ok. Nochmals mit den Wahrscheinlichkeiten für Aufgabe b)

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus dem grünen Strumpf eine blaue oder aus dem blauen Strumpf eine grüne Kugel gezogen wird?

P(aus dem grünen Strumpf eine blaue ODER aus dem blauen Strumpf eine grüne)

= P(aus dem grünen Strumpf eine blaue) + P(aus dem blauen Strumpf eine grüne) - P(aus dem grünen Strumpf eine blaue UND aus dem blauen Strumpf eine grüne)

= P(bx) + P(xg) - P(bg)

= 3/8+ 3/8 - 3/8·3/8 = 39/64

Man sieht das sowohl in a) wie auch in b) mit dem Additionssatz für Wahrscheilichkeiten gerechnet werden kann. Dabei folgt man einfach der Formel

Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

P(A ODER B) = P(A) + P(B) - P(A UND B)

bzw. mit Mengensymbolen

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

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Mir ist das sehr wohl klar. Dennoch hat deine Antwort keinen Bezug zur vom FS gestellten Frage. Für jemanden, der die Aufgabe liest und dann deine Antwort, stellen sich dann nur unnötige Fragen, eben weil der Zusammenhang fehlt. Du hättest ja zumindest erwähnen können, dass du dich auf Teil a) beziehst und das dort genauso funktioniert. Aber auch das ändert nichts an der Tatsache, dass die Frage des FS eine andere war.