Wie muss a gewählt werden, damit der Graph von f(x)=a+x^2 die Winkelhalbierende g(x)=x berührt?

Question

Aufgabe:

Wie muss a gewählt werden, damit der Graph von f(x)=a+x^2 die Winkelhalbierende g(x)=x berührt?

Wie lautet die Gleichung der Berührtangent?

Comments

Wähle a so, dass die Gleichung f(x) = g(x) genau eine Lösung für x hat.

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berühren heißt:

f (x) = g(x)

f '(x) = g '(x)

an der Berührstelle x0

Answer 1

Wie muss a gewählt werden, damit der Graph von \(f(x)=a+x^2\) die Winkelhalbierende \(g(x)=x\) berührt?

\(a+x^2=x\)

\(x^2-1x=-a\)

\(x-0,5)^2=-a+0,5^2=0,25-a\)

\(x-0,5=\sqrt{0,25-a}\)

Berührung liegt dann vor, wenn  \(\sqrt{0,25-a}=0\) → \(a=0,25\)

\(f(x)=0,25+x^2\)

Wie lautet die Gleichung der Berührtangente?

\(x-0,5=\sqrt{0,25-0,25}=0\)

\(x=0,5\)   \(y=0,5\)     Steigung an der Stelle \(x=0,5\)    → \(g´(0,5)=1\)

\( \frac{y-0,5}{x-0,5}=1 \)

\( y=x-0,5+0,5=x \)

Comments

Die Berechnung der Berührtangente kann man sich übrigens sparen, weil sie durch die Aufgabenstellung bereits vorgegeben wird. ;)

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Du legst doch sonst soviel Wert auf die Beantwortung der Frage. Jetzt wohl nicht mehr?

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Ändert doch nichts daran, dass man es nicht ausrechnen muss. Soll heißen: man kann die Frage auch ohne Rechnung beantworten.

Answer 2

Wähle a so, dass die Gleichung f(x) = g(x) genau eine Lösung für x hat.

Funktioniert in diesem Beispiel, reicht im allgemeinen Fall aber nicht aus. Man muss aus dem \(x^2\) nur ein \(x^3\) machen.

Die zusätzliche Bedingung für das Berühren ist, dass die Steigungen übereinstimmen, also \(f'(x)=g'(x)\). Das lässt sich in diesem Fall sogar wesentlich leichter berechnen.

Answer 3

Der Anstieg muss 1 sein:
$$f'(x) =2x \stackrel{!}{=}1\Rightarrow x=\frac 12$$

Nun muss noch gelten:

$$f\left(\frac 12 \right)=a+\left(\frac 12 \right)^2\stackrel{!}{=}\frac 12$$

$$\Rightarrow a=\frac 14$$

Die "Berührtangente" (komisches Wort) ist schon per Aufgabenstellung \(y=x\).