Determinante A bestimmen und a Element aller Reelen Zahl soll Null ergeben.

Question

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Determinante von \( A \). Für welches reelle \( a \) ist \( |A|=0 \) ?
\( \begin{array}{l} A=\left(\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & -4 & -1 & -3 \\ 0 & 7 & 3 & 0 \\ -4 & a & 0 & 1 \end{array}\right) \\ A_{11}=\mid \begin{array}{c} -4-1-3 \mid-4=1 \\ 7: 3 x_{0}+7=3 \\ a_{0} x_{1}+a=0 \\ -4 \cdot 3 \cdot 1+(-1) \cdot 0 \cdot a+(-3) \cdot 7 \cdot 0 \\ -(-1) \cdot 7 \cdot 1-(-4) \cdot 0 \cdot 0-(-3) \cdot 3 \cdot a \\ +7+0+9 a \end{array} \\ \end{array} \)
\( \operatorname{det}_{\left(a_{11}\right)}=4 a \)
\( \begin{array}{l} -(-1) \cdot 0 \cdot(1)-0 \cdot 0 \cdot 0-(-3) \cdot 3 \cdot(-4) \\ -0-0-36 \\ \operatorname{det}\left(a_{12}\right)=36 \\ \end{array} \)
\( \begin{array}{l} -(-4) \cdot 0 \cdot 1-0 \cdot 0 \cdot a-(\cdot 3) \cdot 7 \cdot(-4)= \\ -0-0-84 \\ \end{array} \)
\( \operatorname{det}_{1} \) a 13\( )^{j}-84 \)
\( \begin{array}{l} -(-4) \cdot 0 \cdot 0-0 \cdot 3 \cdot a-(-1) \cdot 7 \cdot(-4) \\ -0-0-28 \\ \operatorname{det}(a \wedge n)=20 \\ \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { 18r }+1 \cdot 3 \cdot 4 a=4 a \\ \text { 2te }-1: 0: 36=-36 \\ 3+1+1 \cdot 1 \cdot(-84)=-84 \\ -1 \cdot-2 \cdot 2 c=40 \\ \operatorname{det}(A)=\frac{-80+4 a}{4 a}=80 \quad 1+80 \\ 1: 4 \\ a=20 \\ \end{array} \)
\( \begin{aligned} \operatorname{det}(A)=\frac{-80}{}+4 a & =01+80 \\ 4 a & =80 \quad 1: 4 \\ a & =20 \end{aligned} \)

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Determinante von A. Für welches reelle a ist |A| = 0?

{{3,0,1,-2},

{0,-4,-1,-3},

{0,7,3,0},

{-4,a,0,1}}

Problem/Ansatz:

Habe zuerst die Untermatrizen gebildet: A11, A12, A13, A14 und ihre Determinante berechnet. det(a11)=4a, det(a12)=36, det(a13)=-84 und det(a14)=20. Anschließend habe ich sie mit der Formel für determinanten für die Ausgangsmatrize summiert. Ich kam auf det(a)=-80+4*a mit a=20 damit diese dann 0 ergibt. Meine Dozentin hat aber als Lösung : |A| = 27a − 59 und a =
59/27. Was habe ich bei meinem Lösungsansatz bzw. der Berechnung falsch gemacht?

Comments

Es ist wesentlich einfacher für uns, wenn du deinen Rechenweg hochlädst.

Answer 1

Schon deine erste Unterdeterminante ist falsch berechnet. Schau das nochmal nach. Vermutlich hast du hier \(9a-5=4a\) gerechnet. ;)

Die zweite Determinante musst du gar nicht berechnen, sie wird sowieso am Ende mit 0 multipliziert.

Tipp: Entwickle nach der ersten Spalte, dort hast du 2 Nullen und du brauchst dann nur die Determinanten von \(A_{11}\) und \(A_{41}\) berechnen.

Comments

Danke, nochmal für die Antwort. Habe tatsächlich 9a-5 als Term behalten müssen, weil man sie ja nicht zusammentun kann. Auch bei der Summieren der Unterdeterminanten hatte ich ein Fehler gemacht. Letztendlich kommt man auf det(A)=-84+40-15+27a und a = 27/59

Und ja du hast auch recht mit der zweiten Determinante, weil man sie mit null multipliziert. Da hätte ich mir Arbeit sparen können.

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Determinante von \( A \). Für welches reelle \( a \) ist \( |A|=0 \) ?
\( \operatorname{det}_{\left(a_{11}\right)}=-5+9 a \)
\( \begin{array}{l} -(-1) \cdot 0 \cdot(1)-0 \cdot 0 \cdot 0-(-3) \cdot 3 \cdot(-4) \\ -0-0-36 \\ \operatorname{def}\left(a_{12}\right)=-36 \\ \end{array} \)
\( \begin{array}{l} -(-4) \cdot 0 \cdot 1-0 \cdot 0 \cdot a-(\cdot 3) \cdot 7 \cdot(-4)= \\ -0-0-84 \\ \end{array} \)
\( \operatorname{det}_{1}(0,13) \bar{j}-84 \)
\( \begin{array}{l} \frac{59}{27}=a \\ \end{array} \)

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Super, dass es jetzt geklappt hat. :)

Answer 2

Der Wert der Determinante in Abhängigkeit von a ist  27·a - 59. Dieser Term hat für a=\( \frac{59}{27} \) den Wert 0.

Comments

Das ist doch bereits bekannt...