9x9 Determinante entwickeln nach einem Element

Question

Ich soll diese neunreihige Determinante zu einer dreireihigen reduzieren und nach dem markierten Element (a86) entwickeln.

Bin irgendwann zum Laplacescher Entwicklungssatz gekommen, soweit auch alles verstanden! 

Meine Frage: Wie sehen denn die Unterdeterminanten des Elements aus?! Bei einer 3x3 oder 4x4 Matrix ist das ja simpel zu lösen, muss ich bei der 9x9 Matrix also immer und immer wieder runterbrechen (8x8 -> 7x7 -> 6x6 usw..) bis ich eine 3x3 Matrix habe und dann mit z.B. der Regel von Sarrus als Multiplikation ausschreiben? Das wäre doch höllisch viel Arbeit! (brauch ich bestimmt einen halben Collegeblock für, haha!)

Hoffe konnte mich halbwegs verständlich ausdrücken :-)

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Terbsen

Answer 1

Hi,
wenn Du nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz die Determinate entwicklest, erhältst Du
$$ (-x) \cdot (-1) \cdot x^5 \cdot x^{-2} \cdot \frac{10}{2} \det(B) $$ wobei für \( B \) gilt
$$ B = \begin{pmatrix}  2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & -2  & 2 & 1  \\ -2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 &  3  \end{pmatrix}  $$
Wenn Du die Determinante von \( B \) nach der 3-ten Zeile entwicklest, erhältst Du in Summe
$$ 43 x^4 $$ als Ergebnis.

Answer 2

Du hast das schon ganz richtig beschrieben, allerdings brauchst du ja nur die Determinanten

zu berechnen, vor denen nicht der Faktor 0 steht.

Bei deiner Determinaten wäre das bei Entwicklung nach 6. Spalte noch 3 Stück.

Und von diesen neuen 8er Det. sind auch welche dabei, die oberhalb der Diagonale

nur noch 0en haben, da brauchst du nur die Diagonalelemente zu multiplizieren.

Comments

Okay, schonmal beruhigend, dass das Verständnis dafür da ist!

Das was bei deiner Aussage nun noch unklar wäre ist die Entwicklung nach der 6. Spalte! Müsste ich nicht nach der 8. Zeile entwickeln, was ja noch 7 Stück wären?

Danke für deine/eure Bemühungen! :-)

Terbsen

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Nach der Spalte kommt es mir aber wesentlich einfacher vor.

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Mit der Methode von ullim ist es natürlich noch was netter:

Du fängst einfach oben links an und multiplizierst alles was längs der Hauptdiagonale kommt, solange

oberhalb alles 0en sind. Er hat sich da nur einmal vertippt, der letzte Faktor ist -1/2 ( nicht 10/2).

und dann bleibt nur noch die Matrix, die er als B bezeichnet hat.

Das sind die letzten 4 Elemente der letzen 4 Spalten und Zeilen.

Damit kommt es dann richtig raus.

Im Ergebnis 43x^4 steckt der Tippfehler übrigens nicht mehr drin, das stimmt.

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Hey! Ich komm da gedanklich nicht ganz hinterher!

Ich muss die 8. Zeile nehmen (daher eingerahmt), somit kommt das runterbrechen nach der 6. Spalte leider nicht in Frage! Oder hab ich da einen Denkfehler?

Ullim, Vielen Dank auch dir für deine Berechnung! Ich wäre dir sehr verbunden, wenn du mir den Rechenweg zu

(-x) * (-1) * x⁵ * x^-2 * 10/2  det(b)

erläutern könntest! Habe mir nun einige Videos zum Laplaceschen Entwicklungssatz angesehen, hab auch versucht es nachzurechnen, leider scheiter ich da immer wieder!

Terbsen

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https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Blockmatrizen

Schau mal dort.  Deine Matrix kann man in 4 Blöcke zerlegen:

Oben links eine 5x5 Matrix A

und unten rechts eine 4x4 Matrix C

dann besteht die 4x4 Matrix oben rechts nur aus Nullen,

also ist deine Determinante det(A) * det (C)

A hat oberhalb der Diagonale nur Nullen, also

ist ihre Determinante das Produkt der Diagonalelemente

also det(A) = (-x) * (-1) * x⁵ * x^-2 * (-1/2)

Der letzte Faktor ist (-1/2) und nicht 10/2 schrieb ich oben schon.

und det(C) ist die Determinante der 4x4 Matrix unten rechts.