Bestimmen Sie alle Punkte x^0∈ ℝ^n ∖ {0} , für die gilt ∇ f (x^0) = 0

Question

Seien A ∈ ℝ^n×n eine symmetrische Matrix und $$ f(x) ∶= \frac{⟨x,Ax⟩}{∥x∥^2} $$, x ∈ ℝ∖{0}, erklärt. Bestimmen Sie alle Punkte x⁰∈ ℝⁿ ∖ {0} , für die gilt ∇ f (x⁰) = 0

Hi wie geht das hier, bzw. über was muss ich mir hier Gedanken machen? War leider krank...

Answer 1

Aloha :)

Nach der Produktregel gilt:$$\operatorname{grad}f(\vec x)=\operatorname{grad}\left(\frac{\left<\vec x,\mathbf A\vec x\right>}{\left\|\vec x\right\|^2}\right)=\operatorname{grad}\left(\frac{1}{\|\vec x\|^2}\right)\cdot\left<\vec x,\mathbf A\vec x\right>+\frac{1}{\|\vec x\|^2}\cdot\operatorname{grad}\left(\left<\vec x,\mathbf A\vec x\right>\right)$$$$\phantom{\operatorname{grad}f(\vec x)}=\frac{-2\vec x}{\|\vec x\|^4}\left(\vec x\cdot\mathbf A\cdot\vec x\right)+\frac{1}{\|\vec x\|^2}\left(\mathbf A\cdot\vec x+\mathbf A^T\cdot\vec x\right)$$Wegen der Symmetrie \(\mathbf A=\mathbf A^T\) gilt weiter:$$\operatorname{grad} f(\vec x)=\frac{-2\vec x}{\|\vec x\|^4}\left(\vec x\cdot\mathbf A\cdot\vec x\right)+\frac{2}{\|\vec x\|^2}\cdot\mathbf A\cdot\vec x=\frac{2}{\|x^2\|}\left(-\vec x^0\cdot(\vec x^0\cdot\mathbf A\cdot\vec x)+\mathbf A\cdot\vec x\right)$$Dieser Gradient soll gleich dem Nullvektor sein. Daher muss die Projektion von \(\mathbf A\cdot\vec x\) auf \(\vec x\) gleich \(\mathbf A\cdot\vec x\) sein. Das ist hier genau für die Eigenvektoren der Fall, da \(\vec x\ne0\) vorausgesetzt wurde.

Um unsere Vermutung zu prüfen, sei \(\vec x\) nun ein Eigenvektor von \(\mathbf A\). Dann gibt es ein \(\lambda\in\mathbb R\) mit \(\mathbf A\cdot\vec x=\lambda\cdot\vec x\) und unser Gradient wird zu:$$\operatorname{grad}f(\vec x)=\frac{2}{\|x^2\|}\left(-\vec x^0\cdot(\vec x^0\cdot\lambda\cdot\vec x)+\lambda\cdot\vec x\right)=\frac{2}{\|x^2\|}\left(-\vec x^0\cdot(\lambda\cdot\|\vec x\|)+\lambda\cdot\vec x\right)$$$$\phantom{grad f(\vec x)}=\frac{2}{\|x^2\|}\left(-\lambda\cdot\vec x+\lambda\cdot\vec x\right)=\vec 0$$

Die gesuchten Punkte sind also alle Eigenvektoren der Matrix \(\mathbf A\).

Answer 2

Bilde erstmal den Gradienten. Partielle Ableitungen bekommst du bestimmt hin. Dazu kann man sich überlegen, wie \(\langle x,Ax\rangle=x^TAx\) definiert ist. Das gleiche gilt für \(||x||^2=x_1^2+\ldots +x_n^2\). Anwendung der Quotientenregel sollte dann zum Ziel führen.

Um ein Gefühl zu bekommen, wie das im allgemeinen Fall funktioniert, sollte man erstmal den Fall \(n=2\) durchrechnen.