Integral mit Parametern minimieren?

Question

Aufgabe:

Gegeb ist  ∫(√[x] - a - bx)²dx

mit den Grenzen 0 bis 1

Jetzt sollen a und b so gewählt werden, dass das Integral minimal wird. Man soll die Hesse Matrix an der Lösung untersuchen.. Da bin ich leider völlig lost eine solches Optimierungsproblem habe ich noch nie gesehen, weiß da einer weiter??

Comments

Du kannst doch mal dss Integral ausrechnen.

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Welche Bedeutung hat [x]?

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Interesse an einer Antwort verloren?

Answer 1

Rechne das Integral aus.

\(\begin{aligned} & \int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-a-bx\right)^{2}\mathrm{d}x\\ =\, & \left[\frac{1}{3}b^{2}x^{3}-\frac{4}{5}bx^{\frac{5}{2}}+\left(ab+\frac{1}{2}\right)x^{2}-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+a^{2}x\right]_{0}^{1} \end{aligned}\)

Answer 2

Vermutlich ja so gemeint:

\(  \int\limits_0^1 (\sqrt{x}-a-bx)^2 dx  \)

Da bekomme ich \(  I(a,b) = \frac{1}{30}(30a^2 +30ab-40a +10b^2 -24b+15)  \)

Also \(  \frac{dI}{da}= \frac{6a+3b-4}{3} \) und \(  \frac{dI}{db}= \frac{10b+15a-12}{15} \)

Und bei der 2. Ableitung bleiben ja nur Konstanten übrig , also ist die Hesse-Matrix

\(  \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}  \)   , also immer pos. definit.

==>   An dem kritischen Punkt ist ein Minimum.

Dieser berechnet sich durch

\(   \frac{6a+3b-4}{3} =0 \) und \( \frac{10b+15a-12}{15} =0 \)