Finden Sie die Grenzen a, b ∈ ℝ des offenen Konvergenzintervalls (a, b) \subset ℝ der folgenden Potenzreihe:

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Finden Sie die Grenzen \( a, b \in \mathbb{R} \) des offenen Konvergenzintervalls \( (a, b) \subset \mathbb{R} \) der folgenden Potenzreihe:
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{8}(x+7)^{n}}{\left(9^{n}\right)\left(n^{\frac{26}{3}}\right)} \)
\( \begin{array}{l} a= \\ b= \end{array} \)

Konvergiert die Reihe an der Stelle \( x=a \) ? (Ja/Nein)
Konvergiert die Reihe an der Stelle \( x=b ? \) (Ja/Nein)

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte hier eine schritt-für-schritt Anleitung zum lösen dieser Aufgabe...

Comments

Kennst Du denn Begrif Konvergenzradius?

Wenn ja, es gibt 2 Formeln, um diese zu berechnen. Welche kennst Du?

Answer 1

Konvergenzradius bestimmen über

\(  \frac{a_n}{a_{n+1}} =  \frac{\frac{n^8}{9^n \cdot n^\frac{26}{3}}}{{\frac{(n+1)^8}{9^{n+1} \cdot (n+1)^\frac{26}{3}}} }  = \frac{n^8}{9^n \cdot n^\frac{26}{3}} \cdot {\frac{9^{n+1} \cdot (n+1)^\frac{26}{3}}{(n+1)^8} } =   (\frac{n}{n+1})^8 \cdot 9 \cdot ( \frac{n+1}{n})^\frac{26}{3}\)

Für n gegen unendlich ist der Gw also 9.

Damit ist das offene Intervall (-16;2).