Reihengrenzwert berechnen, Teleskopsumme

Question

Aufgabe:

Wir sollen den Grenzwert der Reihe/Folge

\(\sum\limits_{k=1}^{n}{} \) \( \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} \)

berechnen.

Der Hinweis, den wir bekommen haben, ist „Telekoskopsumme“.

Problem:

Ich habe gegoogelt, was eine Teleskopsumme ist, und es heißt „eine endliche Summe von Differenzen, bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben.“

Mein Problem ist jetzt, wenn ich mal die ersten Summanden berechne, sehe ich da schon eine gewisse Regelmäßigkeit, jedoch finde ich keine Differenz. Es kommt raus

\( \frac{1}{3·7} \) + \( \frac{1}{7·11} \) + \( \frac{1}{11·14} \) + …

Also im Nenner ist immer ein Produkt und der eine Faktor findet sich auch im benachbarten Summanden im Nenner wieder.

Wie ich aber jetzt den Grenzwert berechne, und wo man die Teleskopsumme einsetzen soll, ist mir schleierhaft :/

Danke im Voraus für jede Hilfe!

Answer 1

Aloha :)$$S(n)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{(4k-1)(4k+3)}=\frac14\sum\limits_{k=1}^n\frac{\overbrace{(4k+3)-(4k-1)}^{=4}}{(4k-1)(4k+3)}$$$$\phantom{S(n)}=\frac14\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k+3}\right)=\frac14\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k-1}-\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k+3}\right)$$$$\phantom{S(n)}=\frac14\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k-1}-\sum\limits_{k=1\pink{+1}}^{n\pink{+1}}\frac{1}{4(k\pink{-1})+3}\right)=\frac14\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{4k-1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{4k-1}\right)$$$$$$$$\phantom{S(n)}=\frac14\left(\frac{1}{4\cdot1-1}+\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{4k-1}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4(n+1)-1}\right)$$$$\phantom{S(n)}=\frac14\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+3}\right)$$

Der Grenzwert für \(n\to\infty\) lautet daher: \(S(\infty)=\frac{1}{12}\)

Comments

Mega, thanks!!!

Answer 2

hallo

du brauchst zuerst eine Partialbruchzerlegung also du musst

 \( \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} =\frac{A}{4k-1}+\frac{B}{4k+3}\)

A und B bestimmen, wenn du dann die ersten paar aufschreibst siehst du die Teleskopsumme  .

Gruß lul

Comments

Wow, vielen Dank, Leute :D