Berechnen Sie die Teleskopsumme:

Question 1

Aufgabe:

$ \sum\limits_{k=1}^{99}{\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}} $

Wüsste eventuell jemand wie ich von $ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} $ auf $ \sqrt{k+1} $ - $ \sqrt{k} $ komme anhand eines Beweises um die Aufgabe zu lösen?

Bin für jede Hilfelfe sehr dankbar LG :)

Question 2

Hallo Felix hast du Aufgabe 1 b ( 2 ) berechnet ?

Question 3

Aloha :)$$\phantom{=}\sum\limits_{k=1}^{99}\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}=\sum\limits_{k=1}^{99}\frac{1}{\underbrace{\sqrt{k+1}}_{=a}+\underbrace{\sqrt k}_{=b}}\cdot\overbrace{\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{\underbrace{\sqrt{k+1}}_{=a}-\underbrace{\sqrt k}_{=b}}}^{=1}=\sum\limits_{k=1}^{99}\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{\underbrace{(k+1)}_{=a^2}-\underbrace{k}_{=b^2}}$$$$=\sum\limits_{k=1}^{99}\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{1}=\sum\limits_{k=1}^{99}\sqrt{k+1}-\sum\limits_{k=1}^{99}\sqrt k=\sum\limits_{k=1}^{99}\sqrt{k+1}-\sum\limits_{k=0}^{98}\sqrt{k+1}$$$$=\left(\sqrt{99+1}+\sum\limits_{k=1}^{98}\sqrt{k+1}\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{98}\sqrt{k+1}+\sqrt{0+1}\right)=\sqrt{100}-\sqrt1=9$$

Question 4

Vielen Dank! Alle Schritte sehr einleuchtend :)

Tschakabumba · Answer 1 · 2020-11-11T17:39:20+0000

Aloha :)$$\phantom{=}\sum\limits_{k=1}^{99}\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt k}=\sum\limits_{k=1}^{99}\frac{1}{\underbrace{\sqrt{k+1}}_{=a}+\underbrace{\sqrt k}_{=b}}\cdot\overbrace{\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{\underbrace{\sqrt{k+1}}_{=a}-\underbrace{\sqrt k}_{=b}}}^{=1}=\sum\limits_{k=1}^{99}\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{\underbrace{(k+1)}_{=a^2}-\underbrace{k}_{=b^2}}$$$$=\sum\limits_{k=1}^{99}\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt k}{1}=\sum\limits_{k=1}^{99}\sqrt{k+1}-\sum\limits_{k=1}^{99}\sqrt k=\sum\limits_{k=1}^{99}\sqrt{k+1}-\sum\limits_{k=0}^{98}\sqrt{k+1}$$$$=\left(\sqrt{99+1}+\sum\limits_{k=1}^{98}\sqrt{k+1}\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{98}\sqrt{k+1}+\sqrt{0+1}\right)=\sqrt{100}-\sqrt1=9$$

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