Zur ersten Summe:
Das ist eine sogenannte "Teleskopsumme". Schreibt man sie aus, erhält man:
a2 - a1 + a3 - a2 + a4 - a3+... + a n - an-1 + an+1 - an
Alle Summanden bis auf an+1 und - a1 heben sich im Laufe der Summierung wieder auf. Übrig bleibt also:
an+1 - a1
Zur zweiten Summe:
Das ist eine schöne Übung zum Umgang mit Summen ...
So geht's:
$$\sum _{ m=0 }^{ k }{ \frac { 1 }{ 2 } ({ k }^{ 2 }-2km+k+2{ m }^{ 2 }) }$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ m=0 }^{ k }{ { k }^{ 2 }-2km+k+2{ m }^{ 2 } }$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \left( \sum _{ m=0 }^{ k }{ { k }^{ 2 }-2\sum _{ m=0 }^{ k }{ km } +\sum _{ m=0 }^{ k }{ k } +2{ \sum _{ m=0 }^{ k }{ { m }^{ 2 } } } } \right)$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \left( { k }^{ 2 }\sum _{ m=0 }^{ k }{ { 1 }-2k\sum _{ m=0 }^{ k }{ m } +k\sum _{ m=0 }^{ k }{ 1 } +2{ \sum _{ m=0 }^{ k }{ { m }^{ 2 } } } } \right)$$$$=\frac { 1 }{ 2 }( (k+1){ k }^{ 2 }-2kk(k+1)/2 +k(k+1)+2k(k+1)(2k+1)/6)$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \left( { k }^{ 3 }+{ k }^{ 2 }-{ k }^{ 3 }-{ k }^{ 2 }+{ k }^{ 2 }+k+(2{ k }^{ 3 }+3{ k }^{ 2 }+k)/3 \right)$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \left( { (3k }^{ 2 }+3k+2{ k }^{ 3 }+3{ k }^{ 2 }+k)/3 \right)$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \left( { (2{ k }^{ 3 }+6k }^{ 2 }+4k)/3 \right)$$$$=\left( { ({ k }^{ 3 }+3k }^{ 2 }+2k)/3 \right)$$$$=\frac { 1 }{ 3 } k(k+1)(k+2)$$
