Wie komme ich auf die Teleskopsumme?

Question

\( x^{n}-y^{n}=(x-y) \sum \limits_{k=0}^{n-1} x^{k} y^{n-1-k} \)

Wie komme ich von der linken Seite auf die rechte? Mir ist klar, dass die Gleichung gültig ist, weil rechts eine Teleskopsumme steht, wo sich alles außer der linke Term wegkürzt, aber wie komm ich vom Ausgangspunkt der linken Seite der Gleichung auf die rechte?

Answer 1

Berechne (x^n - y^n) / (x - y) mittels Polynomdivision für n = 2, 3, 4,...

Dann stellst du eine Vermutung wie die obige auf und dann kannst du die rechte Seite ausmultiplizieren und vereinfachst den Term indem du siehst, dass sich Summanden aufheben.

Answer 2

Du kannst wie folgt vorgehen, wenn du die geometrische Summenformel kennst:

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}a^k = \frac{a^n - 1}{a-1}  \) für \(a\neq 1\)

Wir können diese Formel auch anders schreiben:
\(\displaystyle a^n - 1  = (a-1)\sum_{k=0}^{n-1}a^k \quad (1)\)

Jetzt schreiben wir deine Formel etwas um. Für \(y=0\) gibt es bei deiner Formel nichts zu zeigen. Für \(y\neq 0\) klammerst du nun \(y^n\) aus und wendest (1) an:

$$ \begin{array}{rcl} x^n-y^n & = & y^n\left(\left(\frac xy\right)^n-1\right) \\ & \stackrel{(1)}{=} & y^n \left(\left(\frac xy\right)-1\right)\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac xy\right)^k \\ & = & \left(\left(\frac xy\right)-1\right)\sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-k} \\ & = & (x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-k-1} \end{array} $$